秋季学期新人教A版高中必修四142 正弦函数余弦函数的性质导学案二Word格式.docx

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当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.

当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；

当x∈[2kπ，（2k＋1）π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.

知识点三　正弦函数、余弦函数的性质整合记忆

函数

y＝sinx

y＝cosx

图象

定义域

R

值域

[－1,1]

对称性

对称轴：

x＝kπ＋（k∈Z）；

对称中心：

（kπ，0）（k∈Z）

x＝kπ（k∈Z）；

（k∈Z）

奇偶性

奇函数

偶函数

周期性

最小正周期：

2π

单调性

在[－＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z）上单调递增；

在[＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；

在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

最值

在x＝＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；

在x＝－＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1

在x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；

在x＝π＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1

题型一　求正弦、余弦函数的单调区间

例1　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．

解　y＝1＋sin＝－sin＋1.

由2kπ－≤x－≤2kπ＋（k∈Z）．

解得4kπ－≤x≤4kπ＋π（k∈Z）．

又∵x∈[－4π，4π]，

∴函数y＝1＋sin（－x＋）的单调减区间为

[－4π，－]，[－，]，[，4π]．

反思与感悟　确定函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体．若x的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还应兼顾函数的定义域．

跟踪训练1　求函数y＝sin（－x）的单调递减区间．

解　y＝sin（－x）＝－sin（x－），

令z＝x－，则y＝－sinz，

要求y＝－sinz的递减区间，只需求sinz的递增区间，

即2kπ－≤z≤2kπ＋，k∈Z，

∴2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

∴2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

故函数y＝sin（－x）的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z.

题型二　正弦、余弦函数单调性的应用

例2　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

（1）sin196°

与cos156°

；

（2）cos与cos.

解　

（1）sin196°

＝sin（180°

＋16°

）＝－sin16°

，

cos156°

＝cos（180°

－24°

）＝－cos24°

＝－sin66°

∵0°

<

16°

66°

90°

，且y＝sinx在[0°

，90°

]上是增函数，

∴sin16°

sin66°

从而－sin16°

>

－sin66°

，即sin196°

.

（2）cos＝cosπ＝cos（4π＋π）＝cosπ，

cos＝cosπ＝cos＝cos.

∵0<

π<

π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，

∴cosπ<

cos，即cos<

cos.

反思与感悟　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．

跟踪训练2　比较下列各组数的大小．

（1）sin与sin；

（2）cos870°

与sin980°

解　

（1）sin＝sin＝sin，

sin＝sin＝sin，

∵y＝sinx在上是增函数，

∴sin<

sin，即sin<

sinπ.

＝cos（720°

＋150°

）＝cos150°

，sin980°

＝sin（720°

＋260°

）＝sin260°

＝sin（90°

＋170°

）＝cos170°

150°

170°

180°

，且y＝cosx在[0°

，180°

]上是减函数，

∴cos150°

cos170°

，即cos870°

sin980°

题型三　求正弦、余弦函数的最值（值域）

例3　已知函数f（x）＝sinx－1.

（1）写出f（x）的单调区间；

（2）求f（x）的最大值和最小值及取得最值时x的集合；

（3）比较f（－）与f（－）的大小．

解　

（1）∵函数f（x）＝sinx－1与g（x）＝sinx的单调区间相同，

∴f（x）＝sinx－1的增区间为

[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）．

减区间为[2kπ＋，2kπ＋π]（k∈Z）．

（2）∵函数g（x）＝sinx，

当x＝2kπ＋（k∈Z）时，取最大值1，

当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，取最小值为－1.

∴函数f（x）＝sinx－1，当x＝2kπ＋（k∈Z）时，取最大值0，当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，取最小值－2.

（3）g（－）＝sin（－），g（－）＝sin（－），

∵－<

－<

且y＝sinx在[－，]上是增函数，

∴sin（－）<

sin（－），∴g（－）<

g（－），

∴f（－）>

f（－）．

反思与感悟　1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．

2．比较三角函数的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．

跟踪训练3　若函数y＝a－bcosx（b>

0）的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acosbx的最值和最小正周期．

解　∵y＝a－bcosx（b>

0），

∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.

由解得

∴y＝－4acosbx＝－2cosx，

∴ymax＝2，ymin＝－2，T＝2π.

三角函数相关的恒成立问题

例4　若cos2θ＋2msinθ－2m－2<

0恒成立，求实数m的取值范围．

分析　本题主要考查三角函数的性质与一元二次不等式的知识，可将原不等式化为sin2θ－2msinθ＋2m＋1>

0，令sinθ＝t，由于－1≤sinθ≤1，故－1≤t≤1，只要求出使函数f（t）＝t2－2mt＋2m＋1（－1≤t≤1）的最小值大于0的m的取值范围即可．

解　要使cos2θ＋2msinθ－2m－2<

0恒成立，

即使sin2θ－2msinθ＋2m＋1>

0恒成立．

令sinθ＝t，则－1≤t≤1，f（t）＝t2－2mt＋2m＋1，

所以只要f（t）>

0在[－1,1]上恒成立即可．

由于f（t）＝（t－m）2－m2＋2m＋1（－1≤t≤1），

所以只要f（t）的最小值大于零即可．

若m<

－1，则当t＝－1时，f（t）取最小值，为2＋4m，

令2＋4m>

0，得m>

－，与m<

－1矛盾，舍去．

若－1≤m≤1，则当t＝m时，f（t）取最小值，为－m2＋2m＋1，

令－m2＋2m＋1>

0，得m2－2m－1<

0，

解得1－<

m<

1＋，

所以1－<

m≤1.

若m>

1，则当t＝1时，f（t）取最小值，为2，它显然大于0，所以m>

1.

综上所述，m>

1－.

点评　本题主要应用了函数与方程思想，把不等式恒成立问题转化为函数最值问题，同时体现了转化与化归思想的应用，解题时要注意对m取值的讨论，要做到不重不漏．

1．函数f（x）＝sin的一个递减区间是（　　）

A.B．[－π，0]

C.D.

答案　D

解析　由≤x＋≤π，

解得≤x≤π.故选D.

2．若f（x）＝cosx在[－b，－a]上是增函数，则f（x）在[a，b]上是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．减函数D．增函数

答案　C

解析　因为y＝cosx为偶函数并且在[－b，－a]上是增函数，所以y＝cosx在[a，b]上递减，故选C.

3．函数y＝cos，x∈的值域是（　　）

A.B.

答案　B

解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤π.

∴cosπ≤cos≤cos，

∴－≤y≤.故选B.

4．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．

解　∵－1≤sinx≤1，

∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，

即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，

此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；

当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，

即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，

此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．

5．求函数y＝f（x）＝sin2x－4sinx＋5的值域．

解　设t＝sinx，则|t|≤1，

f（x）＝g（t）＝t2－4t＋5（－1≤t≤1），

g（t）＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2，

开口向上，对称轴t＝2不在研究区间[－1,1]内，

g（t）在[－1,1]上是单调递减的，

g（t）max＝g（－1）＝（－1）2－4×

（－1）＋5＝10，

g（t）min＝g

（1）＝12－4×

1＋5＝2，

即g（t）∈[2,10]．

所以y＝f（x）的值域为[2,10]．

1．求函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，ω>

0）单调区间的方法是：

把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π（k∈Z）解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<

0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．

2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．

3．求三角函数值域或最值的常用方法：

（1）形如y＝asinx＋b（或y＝acosx＋b）的函数的最值或值域问题，利用