知识讲解复数基础Word格式.docx
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复数集与其它数集之间的关系：
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
（）
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即：
如果，那么.
特别地:
.
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；
反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可以比较大小；
也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。
复数和（）互为共轭复数。
考点二：
复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：
。
考点三：
复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。
故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:
在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:
以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
向量的长度叫做复数的模，记作.即.
要点诠释:
（1）向量与点以及复数有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。
【典型例题】
类型一：
复数的有关概念
【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：
（1）是纯虚数；
（2）对应的点位于复平面的第二象限。
【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】
（1）当即时，复数是纯虚数；
（2）当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】
复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；
对一些概念的等价表达式要熟知。
比如：
（）；
是纯虚数（）；
举一反三：
【变式1】复数为纯虚数，则实数a为（ ）．
A．2B．－2C．－D.
【答案】A
【解析】，
由纯虚数的概念知：
＝0，∴a＝2.
【变式2】求当实数取何值时，复数分别是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数。
【解析】
（1）当即或时，复数为实数；
（2）当即且时，复数为虚数；
（3）当即时，复数为纯虚数.
【变式2】已知复数满足且,则复数（）
A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数
【答案】
[法1]设（），有,.
则，故应选C。
[法2]∵,∴.
[法3]∵，∴.
类型二：
复数相等
【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+（b+2）｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b
【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。
【解答】
…………………………①
或…………………………………………②
或…………………………③
由①得a=-3,b=±
2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。
∴a=-3，b=2
由②得a=±
3,b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;
由③得,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
【总结升华】
1、a+bi=c+di.
2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。
解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。
注：
对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z=a+bi（a,b∈R）。
【变式】已知复数z1满足（z1-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1·
z2是实数，求z2.
【解析】设z2=a+2i（a∈R），由已知复数z1满足（z1-2）（1+i）=1-i,得z1=2-i，又已知z1·
z2=（2-i）·
（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.
类型三：
复数的代数形式的四则运算
【例3】计算：
【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。
【变式1】
【答案】：
原式=
【变式2】复数（）
.B.C.D.
【解析】选C解法一：
解法二：
验证法验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.
【例4】已知z1，z2为复数，（3＋i）z1为实数，且|z2|＝求z2.
【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.
z1＝z2（2＋i），（3＋i）z1＝z2（2＋i）（3＋i）＝z2（5＋5i）∈R，
∵|z2|＝
∴|z2（5＋5i）|＝50，
∴z2（5＋5i）＝±
50，
【总结升华】1、
（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
（2）记住以下结论，可提高运算速度：
①（1±
i）2=±
2i；
⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i（n∈N）.
2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。
【变式1】设，（为虚数单位），则的值为
【解析】因为，
所以
【答案】8
【变式2】设i为虚数单位，则复数
A.B.C.D.
【解析】选D..
【例5】已知复数（），若所对应的点在第四象限，求的取值范围.
【思路点拨】在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。
【解析】∵
∴，解得.
∴的取值范围为.
【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
∵所对应的点在第二象限
∴且，且
∴，故选D
【变式2】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ）．
A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i
【答案】C
【解析】复数6＋5i对应的点为A（6,5），复数－2＋3i对应的点为
B（－2,3）．利用中点坐标公式得线段AB的中点C（2,4），故点C
对应的复数为2＋4i.
类型四：
化复数问题为实数问题
【例6】已知互为共轭复数，且,求.
【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。
【解析】设（），则,代入原等式得：
∴，解得：
或或或，
∴或或或。
复数定义：
“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；
设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。
【变式1】已知复数，求实数使
∵,∴
∵,∴，解得或
【变式2】令,求使方程成立的复数.
令（），则原方程化为:
即，
∴，解之有或（舍去）
∴当时，复数.
【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.
【思路点拨】根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
【解析】设为方程的一个实根，则有
即
∴，解得.
【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。
【变式】已知方程有实根，求实数.
设实根为,则
即
∴，解得
∴为所求.
【变式2】已知，方程的两根为、，求.
∵，∴方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。
（1）当，即时，方程的根、为实数根，
由韦达定理
又∵
∴
①当时，,
②当时，.
（2）当,即时，方程的根、为虚根。
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