15年北师大勾股定理提高经典练习讲解Word文件下载.docx

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BC的长.

举一反三【变式1】如图，已知：

，，于P.求证：

.

【变式2】已知：

如图，∠B=∠D=90°

，∠A=60°

，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°

方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°

方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

类型四：

利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°

，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?

请说明。

勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：

4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°

，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？

平行四边形ABCD的面积是多少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

（二）方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°

，，求、、的值。

举一反三：

【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）

例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．

例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

2、在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt△ABC外部拼接一个合适的三角形，

使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。

要求画出图形并计算出边长。

5、公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°

，∠A=45度．请你求出这块草地的面积．

6、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：

B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

9.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在

点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°

，那么∠EFC′的度数为度．

12．如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．

（1）证明：

△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°

，求EF的长．

勾股定理试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为（）.

（A）30（B）28（C）56（D）不能确定

2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长

（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）

（A）13（B）8（C）25（D）64

5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）

（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.

7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（）

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.5

8.三角形的三边长为,则这个三角形是（）

（A）等边三角形（B）钝角三角形

（C）直角三角形（D）锐角三角形.

9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°

，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）.

（A）50元（B）600元（C）1200元（D）1500元

10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（）.

（A）12（B）7（C）5（D）13

（第10题）（第11题）（第14题）

二、填空题（每小题3分，24分）

11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.

12.在直角三角形中，斜边=2，则=______.

13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.

14.如图，在△ABC中，∠C=90°

，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.

（第15题）（第16题）（第17题）

15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

16.如图，△ABC中，∠C=90°

，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

17.如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.

18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.

三、解答题（每小题8分，共40分）

19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；

两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

1.（D）；

2.（C）；

3.（D）；

4.（B）；

5.（C）；

6.（C）；

7.（B）；

8.（C）；

9.（B）；

10.（D）；

11.7；

12.8；

13.24；

14.；

15.13；

16.4；

17.19；

18.49；

三、解答题

19.20；

20.设BD=x，则AB=8-x

　　　由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是（8-x）2=x2+42.

　　　所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6

21.作A点关于CD的对称点A′，连结BA′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元.

作业：

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120°

，则该零件另一腰AB的长是________cm（结果不取近似值）.

图18－2－4图18－2－5图18－2－6

3.如图18－2－5，以R