合函数方程与函数零点经典好题讲练结合详解答案Word格式文档下载.docx

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当时，由的图像知此时有个零点.故有个根.故，所以本题选A.

二、闯关题

●选择题

1．已知函数，其中为自然对数的底数，则函数

的零点个数为（）

2．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，则关于x的方程的实数根个数为（　　）

A．6B．7C．8D．9

3．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

4．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（　　）

A．当时，有4个零点；

当时，有1个零点

B．当时，有3个零点；

当时，有2个零点

C．无论a为何值，均有2个零点

D．无论a为何值，均有4个零点

5．已知函数，若方程恰有5个不同的根，则的取值范围是（）

6．定义域为的函数，若关于的方程,恰有5个不同的实数解，则等于（）

●填空题

7．已知则方程的根的个数是_________．

8．已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为__________.

9．设定义域为R的函数若关于x的方程有7个不同的实数根，则实数______．

10．已知函数，，若方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是______．

●解答题

11．已知函数．

（1）若是偶函数，求实数a的值；

（2）当时，判断的单调性，不需要证明；

（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

参考答案

1．A【详解】

当x≥0时，f（x）＝4x3﹣6x2+1的导数为f′（x）＝12x2﹣12x，

当0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增，

可得f（x）在x＝1处取得最小值，也为最小值﹣1，且f（0）＝1，

作出函数f（x）的图象，

g（x）＝，可令g（x）＝0，t＝f（x），

可得3t2﹣10t+3＝0，解得t=3或，

当t，即f（x），g（x）有三个零点；

当t＝3，可得f（x）＝3有一个实根，

综上g（x）共有四个零点；

故选：

A．

2．B解：

设，则关于x的方程，等价，

解得或，

当时，，此时不满足方程．

若，则，即，

作出当时，的图象如图：

当时，对应3个交点．

∵函数是奇函数，

∴当时，由，

可得当时，，此时函数图象对应4个交点，

综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：

B．

本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

3．D解：

可变形为，

即或，

由题可知函数的定义域为，当时，

函数单调递增；

当时，函数单调递减，

画出函数的大致图象，如图所示，

当且仅当时，，

因为方程恰有三个不同的实数根，

所以恰有两个不同的实数根，

即的图象有两个交点，

由图可知时，的图象有两个交点，

所以实数的取值范围为，故选D．

本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：

函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.

4．A解：

分四种情况讨论．

（1）时，，∴，此时的零点为

（2）时，，∴，则a＞0时，有一个零点，时，没有零点，

（3）若，时，，则a＞0时，有一个零点，时，没有零点，

（4）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点，

综上可知，当时，有4个零点；

本题目考查了函数的零点个数，运用了分类讨论的方法；

属于中档题.

求函数零点的方法：

1.解方程f（x）=0的根；

2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；

3.利用数形结合，找图像的交点个数.

5．B解：

当时，，，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以，当时，的图象恒过点，

当，时，，当，时，，

作出大致图象如图所示.

方程有5个不同的根，即方程有五个解，

设，则.

结合图象可知，当时，方程有三个根，，

（∵，∴），

于是有一个解，有一个解，有三个解，共有5个解，

而当时，结合图象可知，方程不可能有5个解.

综上所述：

方程在时恰有5个不同的根.

B

本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属中档题．

6．C解：

一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解，

结合图象性质，可知，

即.

故答案为C.

本题考查了一元二次方程解的情况，及含绝对值函数的图象性质，属于中档题。

7．5【详解】令，先考虑的解，

它等价于或，解得或，

再考虑，

它等价于或，前者有1个解，后者有两个解；

再考虑的解，

它等价于或，前者无解，后者有两个不同的解且与的解不重复，

综上原方程有5个不同的实数解.

求复合方程的解的个数问题，其实质就是方程组的解的个数问题，先利用导数或初等函数的性质等工具刻画的图像特征并考虑的解，再利用导数或初等函数的性质等工具刻画的图像特征并考虑的解情况，诸方程解的个数的总和即为原方程解的个数.

8．【详解】

作出函数的图像如图：

设，当时，有两个根；

当时，有一个根；

所以当关于的方程有三个不同的实根时，的两根一个比1大，一个比1小，所以，即.当时，或符合题意.

综上可得.

本题主要考查函数与方程，方程根得到分布问题，注意数形结合的使用.

9．2【详解】

题中原方程有7个不同的实数根，

即要求对应于等于某个常数有3个不同实数解，

故先根据题意作出的简图：

由图可知，只有当时，它有三个根．

故关于x的方程有一个实数根4．

，

，或，

时，方程有5个不同的实数根，所以．

故答案为：

2．

数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．

10．【详解】

由，

得，

当或时，，

当时，，

则在，上为减函数，

在为增函数，

设，其图像如图所示：

设，是方程，

方程有四个不同的实数解等价于图像与直线，的交点个数之和，

由图可知：

方程有两大于1的不等实根，

即，解得：

，故答案为：

本题考查了方程的解与函数图像的交点，利用导数研究函数的单调性，最值及图像，属中档题．

11．

（1）

（2）增函数（3）

【详解】

（1）根据题意，若是偶函数，则，

则有，

变形可得，

解可得，

故；

（2）当时，函数和函数都是增函数，

则函数为增函数，

（3）根据题意，函数，有，

则

即

又由

（2）的结论，当时，函数为增函数，

即，

变形可得：

设，

若方程在区间上恰有两个不同的实数解，则函数的图象与有2个交点，

对于，设，

则，

又由，则，则，

，则，

若函数的图象与有2个交点，必有，

故a的取值范围为．

本题考查函数与方程的应用，注意分析函数在时的单调性，结合函数图像进行分析，综合性较强．