初中数学竞赛辅导资料Word文档格式.docx

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3.求方程ax=b（a≠0）的整数解、正整数解、正数解

　当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；

当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b

第二部分典例精析

例1a取什么值时，方程a（a－2）x=4（a－2）　①有唯一的解？

②无解？

③有无数多解？

④是正数解？

例2k取什么整数值时，方程①k（x+1）=k－2（x－2）的解是整数？

②（1－x）k=6的解是负整数？

例3　己知方程a（x－2）=b（x+1）－2a　无解。

问a和b应满足什么关系？

例4　a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？

第三部分典题精练

1.根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

1（x+1）=0,　　②x2=9,　　③|x|=9，　④|x|=－3,　

⑤3x+1=3x－1,　⑥x+2=2+x

2.关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________

3.在方程a（a－3）x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；

　　当a＿＿＿时无解；

　当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；

　　　　　当a＿＿＿＿时,解是负数。

4.k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？

1x=②x=③x=④x=

5.k取什么值时，方程x－k=6x的解是①正数？

②是非负数？

6.m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？

②是正数？

7.己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？

8.m取什么整数值时，方程的解是整数?

9.己知方程有无数多解，求a、b的值。

第二篇二元一次方程的整数解

1.二元一次方程整数解存在的条件：

在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。

即

如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1,　5x－2y=7,　9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；

（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

2.二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。

k叫做参变数。

方法一，整除法：

求方程5x+11y=1的整数解

解：

x==

（1）,

设是整数），则y=1－5k

（2）,　　

把

（2）代入

（1）得x=k－2（1－5k）=11k－2

∴原方程所有的整数解是（k是整数）

方法二，公式法：

设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）

1，求二元一次方程的正整数解：

1出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值

2用观察法直接写出。

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

例2求方程5x+6y=100的正整数解

例3甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

1.求下列方程的整数解

①公式法：

x+7y=4,5x－11y=3②整除法：

3x+10y=1,11x+3y=4

2.求方程的正整数解：

①5x+7y=87,　　　②5x+3y=110

3.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？

4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。

5.下列方程中没有整数解的是哪几个？

答：

（填编号）

34x＋2y=11,②10x－5y=70,③9x+3y=111,

④18x－9y=98,⑤91x－13y=169,⑥120x+121y=324.

6.一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？

7.用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：

y=

1

4

－2

x=

第三篇二元一次方程组解的讨论

1.二元一次方程组的解的情况有以下三种：

1当时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）

2当时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）

3当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：

　　　（这个解可用加减消元法求得）　　

2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）

例1.　选择一组a,c值使方程组

例2.　a取什么值时，方程组的解是正数？

例3.　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？

例4.（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。

问桃，李，榄橄各买几粒？

1.不解方程组，判定下列方程组解的情况：

①　　　②　　③

1．a取什么值时方程组的解是正数？

2．a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？

3．要使方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？

4．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？

第四篇用交集解题

1.某种对象的全体组成一个集合。

组成集合的各个对象叫这个集合的元素。

例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；

除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。

1．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。

2．几个集合的交集可用图形形象地表示，

右图中左边的椭圆表示正数集合，

右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆

的公共部分，是它们的交集――正整数集。

不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。

例如不等式组解的集合就是

不等式

（1）的解集x>

3和不等式

（2）的解集x＞2的交集，x>

3.

如数轴所示：

　　　　　　0　　　　　　　2　　　　3

4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。

把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

　有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。

（如例2）

例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。

例2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？

数学兴趣小组共有几人？

［公式一］N＝+N（A）+N（B）－N（AB）。

例4.在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，

问：

有多少人①只会打乒乓球　②同时会打篮球和排球　③只会打排球？

例5.十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值

1.负数集合与分数集合的交集是.等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。

2.12的正约数集合A＝｛　　　　｝，30的正约数集合B＝｛　　　｝

12和30的公约数集合C＝｛　　　｝，集合C是集合A和集合B的＿＿

3.某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。

4.九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？

5.求符合如下三条件的两位数：

①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。

6.据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；

有2人两种球都不会打。

那么①会打排球有几人？

②只会打排球是几人？

7.100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？

8.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；

按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。

求参赛的总人数，只参加数学科的人数。

（本题如果改为有2人三科都参加呢？

）

9.

10.十进制中，六位数能被21整除，求x,y的值（仿例5）

第五篇用枚举法解题

有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。

列举解答要注意：

1按一定的顺序，有系统地进行；

2分类列举时，要做到既不重复又不违漏；

3遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。

第二部分典例精析　　　　　　　　　　　　　

例1.如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？

例2.写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。

例3.讨论不等式ax<

b的解集。

例4.如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数

1.己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共个，它们是.

2.a+b=37,适合等式的非负整数解共组，它们是.

3.xyz=6,写出所有的正整数解有：

.

4.如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.

ABCDEF

5.　写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式。

6.除以4余1两位数共有几个？

7.从1