52 521 基本初等函数的导数Word文档下载推荐.docx

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f′（x）＝2x

f（x）＝x3

f′（x）＝3x2

f（x）＝

f′（x）＝－

f′（x）＝

■名师点拨

这些常见的函数都是幂函数y＝xn的形式，在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导．

2．基本初等函数的导数公式

f（x）＝xα（α∈Q，且α≠0）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos__x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin__x

f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）

f′（x）＝axln__a

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）

f（x）＝lnx

关于几个基本初等函数导数公式的特点

（1）正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，（符号）正同余反”．

（2）指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．

（3）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．

1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）′＝cos.（　　）

（2）因为（lnx）′＝，所以′＝lnx．（　　）

（3）若f′（x）＝sinx，则f（x）＝cosx．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）×

2．下列结论正确的是（　　）

A．若y＝2，则y′＝2B．若y＝，则y′＝

C．若y＝x2，则y′＝xD．若y＝x，则y′＝1

D

3．曲线y＝sinx在x＝0处的切线的倾斜角是（　　）

A.　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选D.由题知，y′＝cosx，所以y′|x＝0＝cos0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tanα＝1.因为α∈[0，π），所以α＝.

4．已知f（x）＝2x，则f′＝________．

因为f（x）＝2x，所以f′（x）＝2xln2，

所以f′＝f′（log2e）＝2log2eln2＝eln2.

eln2

探究点1　运用导数公式求导数

求下列函数的导数．

（1）y＝2020；

（2）y＝；

（3）y＝3x；

（4）y＝log3x.

【解】　

（1）因为y＝2020，

所以y′＝（2020）′＝0.

（2）因为y＝＝x－，

所以y′＝－x－－1＝－x－.

（3）因为y＝3x，

所以y′＝3xln3.

（4）因为y＝log3x，

所以y′＝.

用公式求函数导数的方法

（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

（2）对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝x等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．　

1．已知f（x）＝，则f′（4）＝（　　）

A．－　　　　　　　　　B.

C．－2D．2

选B.因为f′（x）＝，所以f′（4）＝＝.

2．已知函数f（x）＝若f′（a）＝12，则实数a的值为________．

f′（x）＝若f′（a）＝12，则或

解得a＝或a＝－2.

或－2

探究点2　利用导数研究曲线的切线方程

（1）求过曲线y＝sinx上一点P且与过这点的切线垂直的直线方程；

（2）已知点P（－1，1），Q（2，4）是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

【解】　

（1）因为y＝sinx，所以y′＝cosx，

曲线在点P处的切线斜率是

y′|x＝＝cos＝.

所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，

故所求的直线方程为y－＝－，

即2x＋y－－＝0.

（2）因为y′＝（x2）′＝2x，

设切点为M（x0，y0），

则y′|x＝x0＝2x0.

又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ，

所以k＝2x0＝1，即x0＝，

所以切点M.

所以所求的切线方程为y－＝x－，

即4x－4y－1＝0.

1．在本例

（2）中曲线y＝x2是否存在与直线PQ垂直的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由．

解：

假设存在与直线PQ垂直的切线，

因为PQ的斜率为k＝＝1，

所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，

设切点为（x′0，y′0），

则y′|x＝x′0＝2x′0，

令2x′0＝－1，

则x′0＝－，y′0＝，

切线方程为y－＝－，

即4x＋4y＋1＝0.

故存在与直线PQ垂直的切线．

2．若本例

（2）中的曲线不变，求过点M（－2，3）的切线方程．

设切点为N（x0，y0），

由y′＝2x，

则切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）．

由M（－2，3）在切线上，则

3－y0＝2x0（－2－x0）．①

又点N（x0，y0）在曲线上，则y0＝x，②

由①②得x0＝－1或x0＝－3.

所以切点为（－1，1）或（－3，9）．

则切线方程为y－1＝－2（x＋1）或y－9＝－6（x＋3），

即2x＋y＋1＝0或6x＋y＋9＝0.

（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；

②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

（2）求过点P与曲线相切的直线方程的3个步骤

　已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．

设切点为（x0，lnx0），

由y＝lnx得y′＝.

因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.

所以y′|x＝x0＝＝1，

即x0＝1，

所以切点为（1，0）．

所以1－0＋c＝0，

所以c＝－1.

1．下列结论不正确的是（　　）

A．若y＝3，则y′＝0

B．若y＝，则y′＝－

C．若y＝－，则y′＝－

D．若y＝3x，则y′＝3

选B.y′＝′＝（x－）′＝－x－＝－.

2．幂函数y＝x3在点（2，8）处的切线方程为（　　）

A．y＝12x－16　　　　　

B．y＝12x＋16

C．y＝－12x－16

D．y＝－12x＋16

选A.因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，

故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16，

故选A.

3．已知f（x）＝lnx且f′（x0）＝，则x0＝________．

因为f（x）＝lnx（x>

0），

所以f′（x）＝，

所以f′（x0）＝＝，

所以x0＝1.

1

4．求下列函数的导数：

（1）y＝cos2－sin2；

（2）y＝.

（1）因为y＝cos2－sin2＝cosx，

所以y′＝（cosx）′＝－sinx.

（2）因为y＝＝x，所以y′＝（x）′＝x－＝.

[A　基础达标]

1．（多选）下列结论正确的是（　　）

A．（cosx）′＝sinx

B.′＝cos

C．若y＝，则y′|x＝3＝－

D．（lgx）′＝

选CD.因为（cosx）′＝－sinx，所以A错误．

因为sin＝，而′＝0，所以B错误．

因为′＝（x－2）′＝－2x－3，所以y′|x＝3＝－，所以C正确．

因为（lgx）′＝，所以D正确．

2．若函数f（x）＝cosx，则f′＋f的值为（　　）

A．0　　　　　B．－1

C．1D．2

选A.因为f（x）＝cosx，所以f′（x）＝－sinx.

所以f′＋f＝－sin＋cos＝0.

3．函数f（x）＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是（　　）

A．f′

（2）<

f′（3）B．f′

（2）>

f′（3）

C．f′

（2）＝f′（3）D．不能确定

选A.因为f′（x）＝′＝－，

所以f′

（2）＝－＝－，f′（3）＝－＝－，

因为－<

－，所以f′

（2）<

f′（3），

4．（多选）已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标可以为（　　）

A．（－2，－8）B.

C．（1，1）D．（－1，－1）

选CD.y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±

1，则P点坐标为（－1，－1）或（1，1）．

5．若幂函数f（x）＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是（　　）

A．2x－y＝0B．2x＋y＝0

C．4x－4y＋1＝0D．4x＋4y＋1＝0

选C.因为函数f（x）＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f（x）＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f（x）＝x，f′（x）＝，f′＝1，所以f（x）的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.

6．已知（cf（x））′＝cf′（x），其中c为常数．若f（x）＝ln5log5x，则曲线f（x）在点A（1，0）处的切线方程为________．

由已知得f′（x）＝ln5＝，所以f′

（1）＝1，所以在A点处的切线方程为x－y－1＝0.

x－y－1＝0

7．若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________，切线方程为______________．

因为y′＝，

所以切线方程为y－＝（x－a），

令x＝0，得y＝，

令y＝0，得x＝－a，

由题意知·

·

a＝2，所以a＝4.

所以切线方程为y－2＝（x－4），即x－4y＋4＝0.

4　x－4y＋4＝0

8．设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝（x>

0）上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．

设f（x）＝ex，则f′（x）＝ex，

所以f′（0）＝1.设g（x）＝（x>

则g′（x）＝－.

由题意可得g′（xP）＝－1，

解得xP＝1.

所以P（1，1）．

（1，1）

9．已知f（x）＝，f（x0）＝5，求f[f′（x0）]的值．

因为f（x0）＝5，即＝5，

所以x0＝.

又f′（x0）＝－＝－25，

故f[f′（x0）]＝f（－25）＝－.

10．若曲线f（x）＝x－2在点（a，a－2）（a>

0）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求a的值．

由题意，得f′（x）＝－2x－3，

所以曲线f（x）在点（a，a－2）处的切线方程为y－a－2＝－2a－3（x－a），

令x＝0，得y＝3a－2，令y＝0，得x＝.

所以×

3a－2×

a＝3，

解得a＝.

[B　能力提升]

11．已知函数f（x）＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有（　　）

A．1条B．2条

C．多于2条D．不能确定

选B.y′＝f′（x）＝3x2，设切点为（x0，x）．由3x＝1，得x0＝±

，即在点和点处均有斜率为1的切线，故有2条．

12．（多选）直线y＝x＋b能作为下列函数