线性代数综合测试3Word下载.doc

线性代数综合测试3Word下载.doc

《线性代数综合测试3Word下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数综合测试3Word下载.doc（4页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

由行列式定义可知：

含因子的项只能是与，

而列脚标1342的逆序数为2取正号，故正确答案是。

2．均为阶方阵，，则=。

由于：

。

3．，则=。

解：

由于。

4．若某向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。

向量组线性相关性的几条充分条件之一：

含零向量的向量组必相关。

5．设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则

的通解为。

由于，所以的基础解系只含一个向量：

，故有上通解。

6．若矩阵A=与B=相似，则x=０，y=１。

相似矩阵有相同的特征根，再由特征根性质可得

。

二、单项选择题（每小题4分，共24分）

7．设A、B为n阶方阵，且，则为对称矩阵的是D。

A．B．C．D．

直接用矩阵的转置验算：

8．下列矩阵中哪个矩阵是初等矩阵D。

A．B．C．D．

对单位矩阵只作一次初等变换的矩阵叫初等矩阵，可见只有D成立。

9．设为阶方阵，满足关系，则必有　C。

A．B．C．或D．

因为，可推出或。

10．若阶方阵不可逆，则必有B。

A.B.0为的特征值C.秩（）=D.=

可逆；

秩（）=可逆；

不可逆，不代表=；

故选B：

0为的特征值

11．设A=（aij）mxn，若m<

n，则B。

A．　A的行向量组线性相关　B．A的列向量组线性相关

C．　A的行向量组无关　D．A的列向量组无关

定理：

行向量组、列向量组、矩阵：

三秩相等。

因为m<

n，所以秩列数，

故列向量组的个数大于秩，线性相关。

12．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是B。

A．B．C．D．

齐次线性方程组有非零解的定理。

13．下面的矩阵中哪一个是二次型的矩阵　　C　　。

A．　　B．　　C．　　D．

首先，二次型矩阵必须是对称矩阵，其次次对角线上的元素是交叉项的平分，所以选C。

14．阶方阵具有个线性无关的特征向量是与对角矩阵相似的C条件。

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

矩阵与对角矩阵相似的充分必要定理保证。

三、计算题（每小题7分，共42分）

15．设与均为3阶方阵，为3阶单位矩阵，，且；

求。

因为AB+E=A2+B

，可逆

所以。

16．满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？

解：

当且时，方程组有惟一解。

当时方程组无解。

当时方程组当时

这时方程组只有零解。

当时，这时方程组有无穷多解。

17．设有向量组，计算该向量组的秩，写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

解:

所以,，为的一个极大无关组；

18．设矩阵的一个特征值为3，求。

19．当为何值时，为正定二次型？

解不等式：

四、证明题（每小题5分，共10分）

20．设A为n阶方阵且，证明：

证明:

因为,

所以

。