届人教B版 等比数列单元测试.docx

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届人教B版等比数列单元测试

第3节　等比数列

基础对点练（时间:

30分钟）

1.已知数列{an}是等比数列,a1=,a4=-1,则a6等于（　A　）

（A）-4（B）4（C）-8（D）8

解析:

设{an}的公比为q,

由=q3,得q=-2,

所以a6=a1q5=-4.

2.（2016唐山统考）设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则等于（　B　）

（A）2（B）（C）（D）1或2

解析:

设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列（易知数列{an}的公比q≠-1）,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,又S2=k,S4-S2=2k,所以S6-S4=4k,所以S6=7k,所以==,故选B.

3.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是（　D　）

（A）（-∞,-1]（B）（-∞,0）∪（1,+∞）

（C）[3,+∞）（D）（-∞,-1]∪[3,+∞）

解析:

设等比数列{an}的公比为q,

则S3=a1+a2+a3=a2（+1+q）=1+q+,

当q>0时,S3=1+q+≥1+2=3;

当q<0时,S3=1-（-q-）≤1-2=-1.

所以S3∈（-∞,-1]∪[3,+∞）,故选D.

4.（2016湛江质检）已知等比数列{an}的各项均为正数,且公比q≠1,若a2,a3,a1成等差数列,则公比q等于（　D　）

（A）或（B）

（C）或（D）

解析:

因为a2,a3,a1成等差数列,

所以2×a3=a1+a2,

即a3=a1+a2,

因为等比数列{an}的各项均为正数,且公比q≠1,

所以a1q2=a1+a1q,

化简得q2-q-1=0,

解得q=或q=（舍去）.

5.（2016南昌调研）已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法中一定成立的是（　C　）

（A）若a3>0,则a2015<0（B）若a4>0,则a2014<0

（C）若a3>0,则S2015>0（D）若a4>0,则S2014>0

解析:

等比数列{an}的公比q≠0.对于A,若a3>0,则a1q2>0,所以a1>0,所以a2015=a1q2014>0,所以A不正确;对于B,若a4>0,则a1q3>0,所以a1q>0,所以a2014=a1q2013>0,所以B不正确;对于C,若a3>0,则a1=>0,所以当q=1时,S2015>0,当q≠1时,S2015=>

0（1-q与1-q2015同号）,所以C正确,同理可知D错误,故选C.

6.（2016奉贤区月考）已知数列{an}的首项a1=1,an+1=3Sn（n∈N*）,则下列结论正确的是（　B　）

（A）数列{an}是等比数列

（B）数列a2,a3,…,an是等比数列

（C）数列{an}是等差数列

（D）数列a2,a3,…,an是等差数列

解析:

由an+1=3Sn（n≥1）,得

an=3Sn-1（n≥2）,

两式作差得an+1-an=3an（n≥2）,

即an+1=4an（n≥2）,

因为a1=1,an+1=3Sn（n≥1）,

所以a2=3,

所以数列a2,a3,…,an是公比为4的等比数列.

7.等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则{an}的通项公式an=　　

　　. 

解析:

因为=,

所以=-,

因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,

所以q5=-,q=-,

则an=-1×（-）n-1=-（-）n-1.

答案:

-（-）n-1

8.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2·a6=9a4,a2=1,则a1=　　　　. 

解析:

由a2·a6=9a4得a2（a2q4）=9a2q2,

解得q2=9,

所以q=3或q=-3（舍去）,

所以由a2=a1q,

得a1==.

答案:

9.设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=,则loa5=　　　　. 

解析:

设正项数列{an}的公比为q,正项数列{bn}的公比为p,

则数列{lgan}是公差为lgq的等差数列,{lgbn}是公差为lgp的等差数列.

故Sn=nlga1+lgq.

Tn=nlgb1+lgp.

又=

=.

所以loa5====.

答案:

10.（2015扬州期末）等比数列{an}中,Sn是其前n项和,S3=7,S6=63.

（1）求an;

（2）记数列{Sn}的前n项和为Tn,求Tn.

解:

（1）若q=1,则S6=2S3,与已知矛盾,

所以q≠1,

则

解得即an=2n-1.

（2）由

（1）,求得Sn=2n-1,

于是Tn=21-1+22-1+…+2n-1=-n=2n+1-n-2.

能力提升练（时间:

15分钟）

11.已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am（n-1）+1+am（n-1）+2+…+am（n-1）+m,cn=am（n-1）+1·

am（n-1）+2·…·am（n-1）+m（m,n∈N*）,则以下结论一定正确的是（　C　）

（A）数列{bn}为等差数列,公差为qm

（B）数列{bn}为等比数列,公比为q2m

（C）数列{cn}为等比数列,公比为

（D）数列{cn}为等比数列,公比为

解析:

bn=am（n-1）+1·（1+q+q2+…+qm-1）,==qm,故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误;cn=·q1+2+…+（m-1）,==（）m=（qm）m=,故数列{cn}为等比数列,公比为,D错误,故选C.

12.（2016邢台质检）已知正项等比数列{an}满足S3-3a1-2a2=0,若存在两项an,am使得=4a1,则+的最小值是（　C　）

（A）9（B）（C）（D）

解析:

设正项等比数列{an}的公比为q,则q>0,

因为S3-3a1-2a2=0,

所以a1+a2+a3-3a1-2a2=0,

所以a3-2a1-a2=0,

所以a1q2-2a1-a1q=0,

消去a1可解得q=2或q=-1（舍去）,

又因为存在两项an,am使得=4a1,

所以aman=16,

所以qm+n-2=16,

所以qm+n-2=16,

即2m+n-2=16,

所以m+n-2=4,

所以（m+n）=1,

所以+=（+）（m+n）=（5++）≥（5+2）=,

当且仅当=,

即m=2且n=4时取等号,

所以+的最小值是.

13.（2015包头一模）设数列{an}为等差数列,其公差为d,数列{bn}为等比数列,若a1

解析:

显然d>0.由于{bn}为等比数列,所以=b1b3,即=,即（a1+d）4=（a1+2d）2,即（a1+d）2=a1（a1+2d）①,或者（a1+d）2=-a1（a1+2d）②,解①得d=0,与d>0矛盾,所以只能（a1+d）2=-a1（a1+d）,即2+4a1d+d2=0,即2（）2+4+1=0,解得=.

若=,则a1=d,a2=a1+d=-d,d>0,此时b1=（）2d2>b2=（）2d2,舍去该解;

若=,则a1=d,a2=a1+d=d,此时b1==（）2d2,b2=（）2d2,由于0<<,所以b1

答案:

-1

14.（2016宝鸡调研）已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1（n≥2）.

（1）求证:

{an+1+2an}是等比数列;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）设3nbn=n（3n-an）,求|b1|+|b2|+…+|bn|.

（1）证明:

因为an+1=an+6an-1（n≥2）,

所以an+1+2an=3an+6an-1=3（an+2an-1）（n≥2）.

因为a1=5,a2=5,

所以a2+2a1=15,

所以an+2an-1≠0（n≥2）,

所以=3（n≥2）,

所以数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.

（2）解:

由

（1）得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,

则an+1=-2an+5×3n,

所以an+1-3n+1=-2（an-3n）.

又因为a1-3=2,

所以an-3n≠0,

所以{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.

所以an-3n=2×（-2）n-1,

即an=2×（-2）n-1+3n.

（3）解:

由

（2）及3nbn=n（3n-an）可得,

3nbn=-n（an-3n）=-n[2×（-2）n-1]=n（-2）n,

所以bn=n（-）n.

所以|bn|=n（）n.

设Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|,

则Tn=+2×（）2+…+n（）n,①

①×,得

Tn=（）2+2×（）3+…+（n-1）（）n+n（）n+1,②

①-②,得

Tn=+（）2+…+（）n-n（）n+1

=2-3×（）n+1-n（）n+1

=2-（n+3）（）n+1,

所以Tn=6-2（n+3）（）n.

15.（2015宜昌校级二模）在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,已知a3=,S3=,

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）是否存在正整数n,使得Sn-Sn+2=成立,若存在,求出n的值,若不存在,请说明

理由.

解:

（1）设等比数列的公比为q,

依题意,有a1q2=,a1+a1q+a1q2=,

解得a1=,q=1或a1=6,q=-,

故数列{an}的通项公式为an=或an=6·（-）n-1.

（2）假设存在正整数n,使得

Sn-Sn+2=成立,

①当a1=,q=1时,由Sn-Sn+2=

⇒n-（n+2）=,无解;

②当a1=6,q=-时,

Sn=4[1-（-）n],

由Sn-Sn+2=⇒（-）n=-⇒n=5.

综合①②知,存在正整数n=5,使得Sn-Sn+2=成立.

精彩5分钟

1.（2015上饶二模）三个实数a,b,c成等比数列,若a+b+c=1成立,则b的取值范围是（　D　）

（A）（0,]（B）[-1,]

（C）[-,0）（D）[-1,0）∪（0,]

解题关键:

把a,c用b与公比q表示,由a+b+c=1进而得出b关于q的函数,利用基本不等式即可求出范围.

解析:

因为三个实数a,b,c成等比数列,可设,b,bq,

因为a+b+a=1成立,所以+b+bq=1,

所以b==,

因为q+∈（-∞,-2]∪[2,+∞）,

所以b∈[-1,0）∪（0,].

2.（2015日照二模）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为等比数列的公比的数是（　D　）

（A）（B）（C）（D）

解题关键:

由图象上的点到原点的距离的最大、最小值,求出公比的最大、最小值.

解析:

函数y=等价于

表示圆心在（5,0）,半径为3的上半圆（如图所示）,圆上点到

原点的最短距离为2（点（2,0）处）,最大距离为8（点（8,0）处）,若存在三点成等比

数列,

则最大的公比q应有8=2q2,

即q2=4,q=2,

最小的公比应满足2=8q2,

即q2=,

解得q=.

又不同的三点到原点的距离不相等,

故q≠1,

所以公比的取值范围为≤q≤2,且q≠1.