熊伟运筹学(第2版)1-3章参考答案Word格式.doc
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根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：
表1－24窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
数量（根）
A1：
1.7
2
B1：
2.7
A2：
1.3
B2：
2.0
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得
（1）用料最少；
（2）余料最少．
【解】第一步：
求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:
2.7m
1
300
B2:
2m
450
A1:
1.7m
400
A2:
1.3m
600
余料
0.6
0.3
0.7
0.1
0.9
0.4
0.8
第二步：
建立线性规划数学模型
设xj（j=1,2,…，14）为第j种方案使用原材料的根数，则
（1）用料最少数学模型为
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X
（1）=（50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;
Z=534
X
（2）=（0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0）;
（2）余料最少数学模型为
X
（1）=（0,300,0,0,50,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;
Z=0，用料550根
X
（2）=（0,450,0,0,0,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;
Z=0，用料650根
显然用料最少的方案最优。
1.4某企业需要制定1～6月份产品A的生产与销售计划。
已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。
表1－25
月份
123456
产品成本（元/件）
销售价格（元/件）
300330320360360300
350340350420410340
（1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.5某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
方案一：
在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：
在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：
在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：
在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
最优解X=（30000，0，66000，0，109200，0）；
Z＝84720
1.6炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。
表1－26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残油按10:
4:
3:
1调合而成
辛烷值
≥94
≥84
蒸汽压：
公斤／平方厘米
≤1
利润（元/桶）
5
4.2
半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。
表1－27
1中石脑油
2重整汽油
3裂化汽油
4轻油
5裂化油
6重油
7残油
80
115
105
1.0
0.05
每天供应数量（桶）
2000
1000
1500
1200
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j（j=1,2,…,7）种半成品油的数量（桶）。
总利润：
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
航空煤油蒸气压约束
一般煤油比例约束
即
半成品油供应量约束
整理后得到
1.7图解下列线性规划并指出解的形式：
（1）
【解】最优解X＝（2，4）；
最优值Z=13
（2）
【解】有多重解。
最优解X
（1）＝（3/2，1/2）；
X
（2）＝（4/5，6/5）最优值Z=2
（3）
【解】最优解X＝（4，1）；
最优值Z=－10，有唯一最优解
（4）
【解】最优解X＝（2，3）；
最优值Z=26，有唯一最优解
（5）
【解】无界解。
（6）
【解】无可行解。
1.8将下列线性规划化为标准形式
（1）
【解】
（1）令为松驰变量，则标准形式为
（2）
（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
（3）
【解】方法1：
方法2：
令
则标准型为
（4）
【解】令，线性规划模型变为
标准型为
1.9设线性规划
取基分别指出对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明是不是可行基．
【解】B1：
x1，x3为基变量，x2，x4为非基变量,基本解为X=（15，0，20，0）T，B1是可行基。
x1,x4是基变量，x2,x3为非基变量，基本解X=（25，0，0，－40）T，B2不是可行基。
1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
【解】图解法
单纯形法：
C（j）
b
Ratio
C（i）
Basis
X1
X2
X3
X4
-2
[1]
12
C（j）-Z（j）
M
[8]
-3
6
0.75
7
0.25
7/2
-0.375
0.125
3/4
-0.875
45/4
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X
（1）=（0，0，2，12）、
X
（2）=（0，2，0，6，）、
X（3）=（、
（0，0）
（0，2）
最优解
（2）
-5
C（i）
X5
[4]
2.5
[0.5]
-0.5
-0.25
-1.75
1.25
-12.5
-1
0.5
-1.5
3.5
-16
X
（1）=（0，0，6，10，4）、
X
（2）=（0，2.5，1，0，1.5，）、
X（3）=（2，2，0，0，0）
X（4）=（2，2，0，0，0）
（0，2.5）
（2，2）
最优解：
X=（2，2，0，0，0）；
最优值Z＝－16
该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。
1.11用单纯形法求解下列线性规划
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