数学建模第五讲Word格式文档下载.doc

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微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济、军事、生态、社会等各个领域有着广泛的应用。

因此，如何对实际问题建立起微分方程就成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题，这就是微分方程的建模问题。

这些问题常常是困难的，但也并非是“无章可循”，事实上运用微分方程解决实际问题，常有一定的模式。

所谓模式就是问题所遵循的共性规律，或者分析实际问题时所采用的共同方法。

建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：

一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；

二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；

三是用模拟近似法建模。

建立微分方程模型只是解决问题的第一步。

通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。

如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。

5.1微分方程的简单应用问题40分钟

例1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度铅直向上发射一质量为m的物体，设地球引力与物体到地心的距离平方成反比，求物体可能达到的最大高度。

若物体脱离太阳系，则应为多少？

模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计。

设在t时刻物体上升的高度为（即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为

（）（5.1.1）

其中为比例系数。

因为当物体在地面上时，，即

故

所以

又物体在上升过程中满足Newton第二定律

所以

整理得（5.1.2）

此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。

模型求解令则

以之代入（5.1.2）式，有

分离变量得

积分得

再代入初始条件，可得

故

由于物体达到最大高度时，，所以由

解得物体的最大高度为

（5.1.3）

如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须，由（5.1.3）式知，此时必有，所以应取

（5.1.4）

将代入（5.1.4）式，可得

即应为第二宇宙速度。

思考题：

若有空气阻力，如何建立其数学模型。

例2（液体的浓度稀释问题）在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均未装满），其浓度均为5g/L。

现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出）；

然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合液输出。

问时刻t乙桶盐水的浓度是多少？

模型建立与求解设分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。

先分析甲桶：

任取一段时间，则该时段甲桶内盐的改变量为

两边同除以，并令，得初值问题

（5.1.5）

这就是甲桶中盐含量的数学模型。

对（5.1.5）式分离变量并积分，可得

它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。

现分析乙桶：

同理在任意时间段内乙桶内盐的改变量为

两边同除以，并令，得初值问题

（5.1.6）

这就是乙桶中盐含量的数学模型。

将代入（3.1.6）并整理得

（5.1.7）

求解此一阶线性微分方程，得

所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为

例3（凶杀作案时间的推断问题）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：

00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为,室内环境温度为。

已知在环境温度状况下尸体在最初2小时其温度下降，若假定室内环境基本上为恒温，试推断这一凶杀作案的时间。

问题分析该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newton冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。

由于速度刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。

模型建立现就一般情形考虑，记为时刻t物体的温度，为初始时刻物体的温度（本例中为受害者被害时的体温），为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型

（5.1.8）

其中为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。

模型求解对数学模型（5.1.8）分离变量法求解，易得

（5.1.9）

这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。

在根据物体和介质的性质确定值后，利用与值已知的条件，由（5.1.9）式就可以得到便于应用的形式

（5.1.10）

下面介绍确定参数的两种方法。

方法一利用已知介质（环境）温度下物体在最初时间段其温度下降度数为这一条件来确定。

此时有

将其代入到（5.1.9）式中，有

解得

于是得

（5.1.11）

（5.1.12）

方法二利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定，记为在时刻物体再一次被测定的温度，将其代入到（5.1.9）式中，有

（5.1.13）

（5.1.14）

显然，方法一是方法二的特殊情形，如果已经有通过试验而列出的在不同介质（环境）温度状况下物体在最初时间段其温度下降的度数表，那么通过查这种表立知时刻以及温度下降速度，因而就利用方法一来确定，可以减少再一次测定物体温度的手续。

现在对本例运用方法一求解计算，将具体数据

（案发时刻的人梯的正常体温）

（室内环境（介质空气）温度）

（尸体在最初2小时其温度下降的度数）

（刑侦人员和法医赶到现场第一次测得的尸体温度），

（分钟）

代入（5.1.12）式，得

于是

结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天上午7：

31左右。

例4（马王堆一号墓入葬年代的测定问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳—14平均原子蜕变数29.78次/分钟，而新烧成的同种木炭标本中碳—14（C—14）平均原子蜕变数38.37次/分钟，又知碳—14的半衰期为5730年，试由此推断入葬的大致年代。

问题分析放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳—14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：

（1）宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳—14而同时碳—14又在不断衰变，从而大气层中碳—14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的；

（2）碳—14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳—14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的；

（3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳—14，从而其体内碳—14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳—14的减少量来判断物体的大致死亡时间。

模型建立设时刻生物体中碳—14的含量为，放射性物质的半衰期（即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间）为，生物体死亡时间为，则由放射性物质衰变规律得数学模型

（5.1.15）

其中称为衰变系数，由放射性物质所决定，为生物体在死亡时刻时的碳—14含量。

模型求解对所得的一阶线性微分方程模型（5.1.15）采用同变量分离法求解，得

由于时，有

代入上式，有

所以得

（5.1.16）

这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得

（5.1.17）

将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以

，

（新木炭标准中碳—14原子蜕变数），

（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数）

代入到（5.1.17）式,得

结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。

本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。

5.2减肥的数学模型25分钟

一、问题的提出

随着生活水平的提高，普通百姓减肥之风日盛，但是众多的减肥食品几乎让人不知所措，有些甚至对身体产生危害，迫切需要考虑如何建立减肥的数学模型以便进行指导？

二、问题分析

各种族不同性别的人都有自己的体重标准。

对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖，肥胖从某种意义上就是脂肪过多。

如果吸收了过多的热量，则这些热量就会转化为脂肪而使体重增加。

为了减肥似乎应该不吃或少吃，但为了维持生命，就必须摄入一定的热量以进行必要的新陈代谢、学习、工作。

因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、学习、工作这些关系的正确分析上，选择适当的方法进行。

减肥模型的建立就由此入手。

三、模型假设

（1）设某人每天摄取的热量是aJ，其中bJ用于新陈代谢（自动消耗），而从事工作、生活每天每kg体重消耗J的热量,进行体育锻炼每天每kg体重消耗J的热量;

（2）某人以脂肪形式储存