常微分方程期末考试试卷(6)Word文件下载.doc
《常微分方程期末考试试卷(6)Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《常微分方程期末考试试卷(6)Word文件下载.doc(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________。
5、若为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。
7、若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt=____________。
8、满足___________________的点(),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定
的,对应的奇点称为___________。
二、计算题(共6小题,每题10分)。
1、求解方程:
=
2.解方程:
(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解
4、求解常系数线性方程:
5、试求方程组的一个基解矩阵,并计算
6、试讨论方程组
(1)的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0。
三、证明题(共一题,满分10分)。
试证:
如果满足初始条件的解,那么
常微分方程期末考试答案卷
一、填空题。
(30分)
1、
2、
3、y=+
4、连续的
5、w
6、n个线性无关解
7、
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零稳定中心
二、计算题。
(60分)
1、解:
(x-y+1)dx-(x++3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0
即d-d(xy)+dx--3dy=0
所以
2、解:
,令z=x+y
则
所以–z+3ln|z+1|=x+,ln=x+z+
即
3、解:
设f(x,y)=,则
故在的任何区域上存在且连续,
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,
显然,是通过点(0,0)的一个解;
又由解得,|y|=
所以,通过点(0,0)的一切解为及
|y|=
4、解:
(1)
齐次方程的通解为x=
(2)不是特征根,故取
代入方程比较系数得A=,B=-
于是
通解为x=+
5、解:
det()=
所以,
设对应的特征向量为
由
取
所以,=
6、解:
因为方程组
(1)是二阶线性驻定方程组,且满足条件
,故奇点为原点(0,0)
又由det(A-E)=得
所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型:
a,c为实数
三、证明题。
(10分)
证明:
设的形式为=
(1)
(C为待定的常向量)
则由初始条件得=
又=
所以,C==
代入
(1)得=
即命题得证。