实变函数试题库(4)及参考答案Word文件下载.docx

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7.设为可测集（）上的可测函数,则在上的积分值存在且在上可积.（填“一定”“不一定”）

8.若是上的绝对连续函数,则是上的有

二、选择题

1．设，则（）

是中闭集是中完备集

2．设，是上的可测函数，则（）

、不一定是可测集、是可测集

、是不可测集、不一定是可测集

3．下列集合关系成立的是（）

A、　B、　

C、　　　D、

4.若是开集，则（）

A、的导集B、的开核C、D、的导集

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1．设是上有界函数，且可积，则（）

在上黎曼可积在上可测

在上几乎处处连续在上不一定连续

2.设,则（）

A、是可数集　B、是闭集　C、中的每个点均是聚点　D、

3.　若（）至少有一个内点，则（）

A、可以等于０B、　C、可能是可数集　D、不可能是可数集

4．设是可测集，则的特征函数是（）

A、上的符号函数　　C、上的连续函数

B、上的可测函数D、上的连续函数

四、判断题

1.零测集上的函数是可测函数.（）

2.可列个闭集的并集仍为闭集（）

3.任何无限集均含有一个可列子集（）

4.设为可测集，则一定存在集，使，且.（）

五、定义题

1.为什么说有界变差函数几乎处处可微？

2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？

3.可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？

4.上的有界变差函数与单调函数有什么关系？

六、计算题

7.设，为康托集，求.

8.求.

七、证明题

1．设是上几乎处处有限的可测函数，且，，则

2．设是上可积函数，则在上也是可积的

3．设是可测集上的非负可测函数，如果，则于

4．证明等式：

一、填空题

1.等于2.闭集.3.4.5.6.黎斯7.不一定不一定8.界变差函数.

二、单选题

1.B2.B3.A4.B

三、多选题

1.BD2.CD3.BD4.ABC

√×

√√

1.答：

由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.

2.答：

不一定，如

3.答：

简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.

4.答：

单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.

六、解答题

1.解：

因为，所以于

于是而在上连续，所以

因此.

2.解：

令

显然在上可测，且

因为

不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数，且

，所以

由勒贝格控制收敛定理

故.

1.证明对任何正数，由于

所以

于是

故

2.证明因是上可积，所以在上可积，从而

可积，

又

故在上可积

3.证明反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，若不然，则

由于，所以存在，使

于是

因此，矛盾，故于

4.证明