河南省郑州市智林学校学年高二上学期期中考试数学理试题.docx

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河南省郑州市智林学校学年高二上学期期中考试数学理试题

郑州市智林学校2017-2018学年高二上学期期中考试

数学试题（理科）

题号

一

二

三

总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集U={x|x2＞1}，集合A={x|x2-4x+3＜0}，则∁UA=（）

A.（1，3）

B.（-∞，1）∪[3，+∞）

C.（-∞，-1）∪[3，+∞）

D.（-∞，-1）∪（3，+∞）

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=asinB，则A等于（）

A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

3.设x＞1，则x+的最小值是（）

A.4

B.5

C.6

D.7

4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=15，则S7的值是（）

A.28

B.35

C.42

D.7

5.已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）

A.2252-2

B.2253-2

C.21008-2

D.22016-2

6.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）

A.b=10，A=45°，B=60°

B.a=60，c=48，B=120°

C.a=7，b=5，A=75°

D.a=14，b=16，A=45°

7.1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：

Fn=Fn-1+Fn-2，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数，F1=F2=1，则F8的值为（）

A.13

B.21

C.34

D.55

8.已知在正项等比数列{an}中，a1=1，a2a4=16，则|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=（）

A.224

B.225

C.226

D.256

9.不等式＞1的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax-2b＜0的解集为（）

A.（-3，-2）

B.

C.（-∞，-3）∪（-2，+∞）

D.

10.在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

11.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：

我在1日和3日都有值班；

乙说：

我在8日和9日都有值班；

丙说：

我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）

A.2日和5日

B.5日和6日

C.6日和11日

D.2日和11日

12.方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）

A.1＜a＜

B.a＜-1或a＞1

C.-1＜a＜1

D.-＜a＜-1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2-2an（n∈N*），则a2016=______．

14.设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=______．

15.有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是______．

16.若x＞0，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知不等式mx2+2mx-8≥0有解，求m的取值范围．

18.已知数列{an}满足a1=0且Sn+1=2Sn+n（n+1），（n∈N*）

（Ⅰ）求a2，a3，并证明：

an+1=2an+n，（n∈N*）；

（Ⅱ）设bn=an+1-an（n∈N*），求证：

bn+1=2bn+1；

（Ⅲ）求数列{an}（n∈N*）的通项公式．

19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3．

（1）若b=2，求cosB；

（2）求△ABC的面积的最大值．

20.已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2，a4的等差中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=-nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

21.小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？

（提示：

（1+4%）10≈1.48）

22.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=．

（1）求角B的大小；

（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．

答案和解析

【答案】

1.C    2.B    3.B    4.B    5.B    6.D    7.B    8.B    9.A    10.D    11.C    12.A    

13.

14.

15.

16.-2

17.解：

（1）当m=0时，原不等式化为-8≥0，解集为空集，故不满足题意；…（2分）

（2）当m＞0时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意；…（5分）

（3）当m＜0时，由题意，得：

△≥0，

即（2m）2-4×（-8）≥0，

又m2+8＞0，

所以取m＜0；…（.9分）

综上，当m∈R且m≠0时，不等式mx2+2mx-8≥0有解…（10分）

18.解：

（Ⅰ）∵a1=0且Sn+1=2Sn+n（n+1），

∴S2=2S1+1，

∴a2=1，

同理可得，a3=4；

∵Sn+1=2Sn+n（n+1），

∴an+1=Sn+n（n+1），①

∴n≥2时，an=Sn-1+n（n-1），②

①-②：

an+1-an=an+n，

∴an+1=2an+n，n=1时也成立；

（Ⅱ）∵an+1=2an+n，

∴an+1-an=2（an-an-1）+1，

∵bn=an+1-an，

∴bn+1=2bn+1；

（Ⅲ）∵bn+1=2bn+1，

∴bn+1+1=2（bn+1），

∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴bn=2n，

∴an+1-an=2n，

∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=0+2+…+2n-1==2n-2．

19.（本题满分为12分）

解：

（1）∵，∴=，可得，…（3分）

又∵a＞b，

∴A＞B，可得B为锐角，

∴．…（6分）

（2），

∵，

∴bc=b2+c2-9≥2bc-9，…（9分）

∴得bc≤9，当且仅当b=c时等号成立，

∴故S△ABC=bcsinA≤9×=，即△ABC的面积的最大值为．…（12分）

20.解：

（1）设等比数列{an}的首项为a1，且公比为q＞1．

∵a3+2是a2，a4的等差中项，

∴2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8，

∴a2+a4，=20，则，

解得或（舍去），

∴，

（2）由

（1）得，bn=-nan=-n•2n，

∴，

即①

②

①-②得，

==（1-n）•2n+1-2．

21.解：

50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有

购房款50万元十年的本息和：

50（1+4%）10…4分

每年存入x万元的本息和：

x•（1+4%）9+x•（1+4%）8+…+x…（8分）

=•x…（10分）

从而有50（1+4%）10=•x

解得：

x≈6.17（万元）…12分

22.解：

（1）2bcosC+c=2a，由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA．

∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），∴sinC=2cosBsinC，

∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴．

又∵0＜B＜π，∴B=．

（2）在△ABD中，由余弦定理得=c2+-2c×cosA，

∴=c2+-bc，①，

在△ABC中，由正弦定理得=，由已知得sinA=．

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，

∴c=b…②，

由①，②解得b=7，c=5，

∴S△ABC=bcsinA=10．

【解析】

1.解：

U={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜-1}，集合A={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，

∁UA={x|x≥3或x＜-1}，

故选：

C

根据不等式的解法求出集合A，U的集合，结合集合的基本运算进行计算即可．

本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．

2.解：

由正弦定理可得：

，可得：

b=，

又b=asinB，

所以：

sinA=1，

所以可得：

A=90°．

故选：

B．

由正弦定理可得b=，又b=asinB，解得sinA=1，从而可求A=90°．

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

3.解：

∵x＞1，∴+1=5．当且仅当x=3时取等号．

故选B．

利用基本不等式即可得出．

熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．

4.解：

由等差数列{an}的性质，a2+a4+a6=15=3a4，解得a4=5．

则S7==7a4=35．

故选：

B．

利用等差数列的性质与求和公式即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5.解：

∵数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，

∴=2，①

=14，②

由②÷①得到：

q8=2或q8=-3（舍去），

∴=2，

则a1=2（q-1），

∴S2016===2253-2．

故选：

B．

由Sn为等比数列{an}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．

本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：

本题中不需要求得首项和公比的具体数值．

6.解：

若b=10，A=45°，B=60°，则由正弦定理可得=，求得a=，故△ABC有一解；

若a=60，c=48，B=120°，则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac•cosB=8784，求得b只有一解，故△ABC有一解；

若a=7，b=5，A=75°，则由正弦定理可得=，求得sinB=，

再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；

若a=14，b=16，A=45°，则由正弦定理可得=，求得sinB=，

再根据b＞a，可得B＞A，∴B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，

故选：

D．

由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，判断△ABC解的个数．

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，大边对大角，属于基础题．

7.解：

∵F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3，n∈N*），

∴F3=1+1=2，

F4=2+1=3，

F5=3+2=5，

F6=5+3=8，

F7=5+8=13，

F8=8+13=21

故选B．

根据F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3，n∈N*），依次另n=3，4，5，6，7，8能够依次求出F3，F4，F5，F6，F7和F8的值．

本题考查数列递推式的性质和应，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推思想的合理运用，属于基础题．

8.解：

设正项等比数列{an}