线性代数试卷及答案.doc
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考试科目：
线性代数
考试类型：
闭卷考试时间：
120分钟
一.选择题（每题3分，共15分）
1.设是任意阶方阵，那么下列等式必成立的是（）
（A） （B）
（C） （D）
解答：
选D
由于矩阵乘法没有交换律，所以A，B，C这些需要交换律成立才能推出的等式不一定成立
2.如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量，那么矩阵的秩为（）
（A） （B）
（C） （D）以上答案都不正确
解答:
选C
齐次线性方程组中未知数的个数，基础解系中向量个数，系数矩阵的秩之间的关系为
3.如果三阶方阵的特征值为，那么及分别等于（）
（A）10，8 （B）8，10
（C）-10，-8 （D）-8，-10
解答：
选B
设方阵的特征值为，则，
所以，
4.设实二次型的矩阵为，那么（）
（A） （B）
（C） （D）
解答：
选A
，注意到二次型的矩阵一定是对称矩阵，因此由
知，二次型的矩阵为
5.若方阵的行列式，则（）
（A）的行向量组和列向量组均线性相关；
（B）的行向量组线性相关，列向量组线性无关；
（C）的行向量组和列向量组均线性无关；
（D）的列向量组线性相关，行向量组线性无关
解答：
选A
方阵的行列式为零，说明方阵为降秩矩阵，即方阵的秩，从而个行向量组成的向量组的秩，说明最大无关组中向量个数，即多于个向量时一定线性相关，因此个行向量线性相关。
同理个列向量线性相关
这个结论是一个充分必要条件，即
方阵的行列式为零行（列）向量组线性相关；
方阵的行列式不为零行（列）向量组线性无关
二.填空题（每题3分，共30分）
1.如果行列式有两列的元对应成比例，那么该行列式等于____
解答：
0
判断行列式等于零常用的几个结论：
（1）若行列式某行（列）全部为零，则行列式等于零；
（2）若行列式有两行（列）相等，则行列式等于零；
（3）若行列式有两行（列）对应成比例，则行列式等于零
2.设，是的伴随矩阵，则____
解答：
（也可以填具体矩阵）
关于矩阵，逆矩阵，伴随矩阵的两个基本等式：
，
其他结论都是由这两个等式推导出来的，常用的有，，
对于本题，由于，因此，说明
由于为下三角阵，行列式，因此
3.设是非齐次线性方程组的解，若也是它的解，那么____
解答：
1
由是的解知
由是的解知
从而，由于是非齐次方程组，所以为非零向量，于是，即
4.设向量与向量正交，则____
解答：
3
两向量正交，则内积为零，所以，即，从而
5.设为正交矩阵，则____
解答：
1或-1（也可以填）
根据正交矩阵的定义，，从而，，而，所以，于是
6.设是互不相同的三个数，则行列式____
解答：
这是三阶的范德蒙行列式，可以直接用结论，也可以直接计算
还可以用范德蒙行列式的计算方法计算
7.要使向量组线性相关，则____
解答：
0
方法1：
由于向量组线性相关，因此齐次线性方程组有非零解
从而其系数矩阵的行列式，从而
方法2：
向量组线性相关，则以这些向量为列组成的矩阵的秩小于其列数，即矩阵的秩小于3，矩阵为降秩矩阵，其行列式等于零，即
，解得
8.三阶可逆矩阵的特征值分别为，那么的特征值分别为____
解答：
设为矩阵的特征值，为对应的特征向量，则，两边左乘得，，从而
这表明，若为矩阵的特征值，为对应的特征向量，则就是的特征值，而且对应的特征向量仍为
9.若二次型是正定的，则的取值范围为____
解答：
二次型的矩阵为，二次型正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式都为正，即
，即，解得
10.设为阶方阵，且满足，那么____
解答：
由得，，即，所以，这表明
三.计算题（每题9分，共27分）
1.已知，求矩阵使之满足
解答：
由得，即（注意：
现在还不能推导出，因为还没有说明矩阵是可逆的，所以不可以出现）
，下面用初等行变换求的逆矩阵，从而说明它是可逆的
所以，从而
2.求行列式的值
解答：
3.求向量组的一个最大无关组和秩
解答：
将向量按列排成一个矩阵，用初等行变换化为行最简形矩阵
所以是一个最大无关组，向量组的秩为3
四.（10分）设有齐次线性方程组
问当取何值时，上述方程组
（1）有惟一的零解；
（2）有无穷多个解，并求出这些解
分析：
齐次线性方程组有惟一零解的充分必要条件为系数矩阵的秩等于未知数的个数；有无穷多个解的充分必要条件为系数矩阵的秩小于未知数的个数.
对于系数矩阵为方阵的齐次线性方程组，这个结论可以叙述为：
齐次线性方程组有惟一零解的充分必要条件是系数行列式不等于零（也可以叙述为系数矩阵为满秩矩阵），有无穷多个解的充分必要条件是系数行列式等于零（也可以叙述为系数矩阵为降秩矩阵）.
解答：
方程组的系数行列式为
（1）当，即且时，方程组有惟一的零解；
（2）当，即或时，方程组有无穷多个解.
当时，系数矩阵
对应方程组为，解得，其中取任意数
当时，系数矩阵
对应方程组为，解得，其中取任意数
五.（12分）求一个正交变换，把下列二次型化成标准形
解答：
二次型的矩阵为
r
因此矩阵的特征值为
对于
对应方程组为，解得，其中取任意数
对于
对应方程组为，解得，其中取任意数
取特征向量，正交化为
单位化为
取，则为正交矩阵，且
所以取正交变换，则可化为
六.（6分）已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证：
这三条直线交于一点的充分必要条件为
证明1：
三条直线交于一点的充分必要条件是方程组
，即有解.
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.
（1）当时，必不全为零（这是直线方程的条件），不妨设，从而
由知，，从而系数矩阵的秩与增广矩阵的秩都是2
（2）当时，与不能同时成立（否则，三条直线重合，与条件相矛盾），不妨设，从而
由于，从而系数矩阵的秩为2而增广矩阵的秩为3
上述两种情况说明，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩的充分必要条件是，从而结论得证.
证明2：
三条直线交于一点的充分必要条件是方程组
，即有解.
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
因此只要证明：
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩的充分必要条件是就可以了.
（必要性）系数矩阵的秩最多是2，因此增广矩阵一定是降秩矩阵，从而行列式
由于三条直线是平面上的不同直线，因此不全相等，从而.
（充分性）时，，系数矩阵的一个子式
，而其最高阶子式就是2阶的，因此系数矩阵的秩为2
而增广矩阵的唯一3阶子式，存在2阶子式，因此增广矩阵的秩也为2，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.
从而结论成立
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