历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答Word文档格式.doc

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A．必能由线性表出 B．必能由线性表出

C．必能由线性表出 D．必能由线性表出

注：

是的一个极大无关组．

8．设A为矩阵，，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（D）

A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n

方程组Ax=0有n个未知量．

9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）

A． B． C． D．

，所以A与有相同的特征值．

10．二次型的正惯性指数为（C）

A．0 B．1 C．2 D．3

，正惯性指数为2．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．行列式的值为_____________．

12．设矩阵，，则_____________．

13．设，，若向量满足，则__________．

14．设A为n阶可逆矩阵，且，则|_____________．

15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则_____________．

个方程、个未知量的Ax=0有非零解，则0．

16．齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_____________．

，基础解系所含解向量的个数为．

17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是，则矩阵必有一个特征值为_________．

A有特征值，则有特征值，有特征值．

18．设矩阵的特征值为，则数_____________．

由，得2．

19．已知是正交矩阵，则_____________．

由第1、2列正交，即它们的内积，得0．

20．二次型的矩阵是_____________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式的值．

解：

22．已知矩阵，，求

（1）；

（2）．

（1）；

（2）注意到，所以

23．设向量组，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．

，向量组的秩为3，是一个极大无关组，．

24．已知矩阵，．

（1）求；

（2）解矩阵方程．

（1）

，；

25．问a为何值时，线性方程组有惟一解？

有无穷多解？

并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．

．

时，，有惟一解，此时

时，，有无穷多解，此时

，，通解为，其中为任意常数．

26．设矩阵的三个特征值分别为，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使．

由，得，．

对于，解：

，，取；

，，取．

令，则P是可逆矩阵，使．

四、证明题（本题6分）

27．设A，B，均为n阶正交矩阵，证明．

证：

A，B，均为n阶正交阵，则，，，所以

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

1．设3阶方阵，其中（）为A的列向量，若，则（C）

A． B． C．6 D．12

2．计算行列式（A）

A． B． C．120 D．180

3．若A为3阶方阵且，则（C）

A． B．2 C．4 D．8

，．

4．设都是3维向量，则必有（B）

A．线性无关 B．线性相关

C．可由线性表示 D．不可由线性表示

5．若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（C）

A．2 B．3 C．4 D．5

由，得4．

6．设A、B为同阶方阵，且，则（C）

A．A与B相似 B． C．A与B等价 D．A与B合同

A与B有相同的等价标准形．

7．设A为3阶方阵，其特征值分别为，则（D）

A．0 B．2 C．3 D．24

的特征值分别为，所以．

8．若A、B相似，则下列说法错误的是（B）

A．A与B等价 B．A与B合同 C． D．A与B有相同特征值

只有正交相似才是合同的．

9．若向量与正交，则（D）

A． B．0 C．2 D．4

由内积，得4．

10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为，则（B）

A．A正定 B．A半正定 C．A负定 D．A半负定

对应的规范型，是半正定的．

11．设，，则______________．

12．设A为3阶方阵，且，则______________．

13．三元方程的通解是______________．

，通解是．

14．设，则与反方向的单位向量是______________．

15．设A为5阶方阵，且，则线性空间的维数是______________．

的维数等于基础解系所含向量的个数：

16．

17．若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则______________．

只有零解，所以可逆，从而．

18．实对称矩阵所对应的二次型______________．

19．设3元非齐次线性方程组有解，，且，则的通解是______________．

是的基础解系，的通解是．

20．设，则的非零特征值是______________．

由，可得，设的非零特征值是，

则，．

21．计算5阶行列式．

连续3次按第2行展开，．

22．设矩阵X满足方程，求X．

记，，，则，

，，

23．求非齐次线性方程组的通解．

，

，通解为，都是任意常数．

24．求向量组，，的秩和一个极大无关组．

，向量组的秩为2，是一个极大无关组．

25．已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．

设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，，；

对于，解齐次方程组：

，，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数．

26．设，试确定使．

，时．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解．

因为是的解，所以，是的解；

设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关．

全国2011年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：

04184

说明：

本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

1.设行列式=4，则行列式=（）

A.12 B.24

C.36 D.48

2.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（）

A.A-1CB-1 B.CA-1B-1

C.B-1A-1C D.CB-1A-1

3.已知A2+A-E=0，则矩阵A-1=（）

A.A-E B.-A-E

C.A+E D.-A+E

4.设是四维向量，则（）

A.一定线性无关 B.一定线性相关

C.一定可以由线性表示 D.一定可以由线性表出

5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（）

A.A=0 B.A=E

C.r（A）=n D.0<

r（A）<

（n）

6.设A为n阶方阵，r（A）<

n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）

A.Ax=0只有零解 B.Ax=0的基础解系含r（A）个解向量

C.Ax=0的基础解系含n-r（A）个解向量 D.Ax=0没有解

7.设是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）

A.是Ax=b的解 B.是Ax=b的解

C.是Ax=b的解 D.是Ax=b的解

8.设，，为矩阵A=的三个特征值，则=（）

A.20 B.24

C.28 D.30

9.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（）

A. B.1

C. D.2

10.二次型f（x1,x2,x3）=的秩为（）

A.1 B.2

C.3 D.4

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式=0，则k=_________________________.

12.设A=，k为正整数，则Ak=_________________________.

13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=_________________________.

14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则=_________________________.

15.设A是m×

n矩阵，Ax=0,只有零解，则r（A）=_________________________.

16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=________.

17.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的维数是______________________.

18.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=________________________.

19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=__________________.

20.设f（x1,x2,x3）=是正定二次型，则t满足_________.

21.计算行列式

22.设矩阵A=，对参数讨论矩阵A的秩.

23.求解矩阵方程X=

24.求向量组：

，，，的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.

25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解.

26.求矩阵的特征值和特征向量.

四、证明题（本大题共