学生版自主招生专题六 不等式放缩法Word格式.docx
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（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
基础题分析：
【例1】
（1）求的值;
（2）求证:
.
【例2】
（1）求证:
（2）求证:
（3）求证:
（4）求证：
【例3】求证:
提高题分析
（2008年清华）设函数.数列满足..
设，整数.证明:
【例2】
（2011年华约试题改编）已知,求证:
.
【例3】
（2002年武汉大学）已知,,求证:
（2012年卓越联盟试题）已知,,
求证:
二、函数放缩
（1）构造函数有
（2）函数构造形式:
（3）函数构造形式:
（4）函数构造形式:
（加强命题）
基础题分析
【例1】求证：
【例2】求证:
（1）
【例4】求证:
和.
【例5】求证:
【例6】证明:
【例7】已知证明
（2009北约试题）已知函数若
（2002年浙江大学）已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
（）求证：
函数上是增函数；
（）当；
（）已知不等式时恒成立，
求证：
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀”小者小,大者大”，解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
姐妹不等式:
和也可以表示成为和
【例1】证明:
（2008年交大夏令营试题）在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
（1）证明>
>
4，;
（2）证明有，使得对都有<
（2012年福建高考试题改编）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？
并证明你的结论。
（2011年浦东二模14题改编）设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:
.
四、迭代和递推放缩
方法分析：
【例1】已知,求证:
当时,
【例2】设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k－Sn|<
【例5】若,求证:
（2007年同济）已知数列的前项和满足证明：
对任意的整数，
有
【例1】设函数.若对一切，，求的最大值。
五、二项放缩
,
【例1】已知证明
【例2】已知是正整数，且
（1）证明；
（2）证明
【例3】已知a+b=1,a>
0,b>
0,求证：
【例4】设，求证.
【例5】已知：
求证：
（2011年卓越试题）已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有.
（I）试证明：
为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：
【例2】已知函数f（x）的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
①对于任意[0,1]，总有，且；
②若则有
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：
f（x）≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：
六、积分放缩
利用定积分的保号性比大小，保号性是指，定义在上的可积函数，则.
奇巧积累:
将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①；
②；
③；
④.
【例2】求证：
，.
【例3】已知.求证：
（2013年北约试题）设，如图，已知直线及曲线：
，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明.
七、三角不等式的放缩
基础题分析
【例1】求证:
放缩法常见技巧分析：
一、使用加强命题法证明不等式
（i）同侧加强
对所证不等式的同一方向（可以是左侧,也可以是右侧）进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
（ii）异侧加强（数学归纳法）
（iii）双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:
【例1】求证:
对一切,都有.
【例2】已知数列满足:
求证:
【变式训练】已知数列满足:
（2010年北约试题）已知数列,,,.
记,.求证:
当时.
（1）;
（2）;
（3）.
（2004年交大）已知数列的首项,,．
（1）证明:
对任意的,,;
（2）证明:
二、部分放缩（尾式放缩）和全放缩
【例2】设求证：
【例1】设数列满足，当时
证明对所有有；
经典题目方法探究
探究1.（2008年武汉大学）已知函数.若在区间上的最小值为,
令.求证:
探究2.设函数.如果对任何，都有，求的取值范围
变式：
若,其中且,,求证:
★同型衍变:
已知函数.若对任意x∈（0,1）恒有f（x）>
1,求a的取值范围.
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