学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第Word格式.docx

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a,那么a>

b,即a>

b⇔b<

a.

(2)如果a>

b,且b>

c,那么a>

c,即a>

b,b>

c⇒a>

c.

(3)如果a>

b,那么a+c>

b+c.

(4)如果a>

b,c>

0,那么ac>

bc;

如果a>

b,c<

0,那么ac<

bc.

(5)如果a>

d,那么a+c>

b+d.

(6)如果a>

b>

0,c>

d>

bd;

0,c<

d<

bd.

(7)如果a>

0,那么an>

bn(n∈N,n≥2).

(8)如果a>

0,那么>

(n∈N,n≥2).

【新知拓展】

1.关于不等式性质的理解

两个同向不等式可以相加,但不可以相减,如a>

d不能推出a-c>

b-d.

2.常用的结论

b,ab>

0⇒<

(2)b<

0<

a⇒>

(3)a>

0⇒>

(4)若a>

0,m>

0,则>

<

(b-m>

0);

>

0).

3.比较大小的方法

比较数(式)的大小常用作差与0比较.

作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形,前者将“差”化为“积”,后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”,也可二者并用.

4.利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围,必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围.

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×

”)

(1)若x2=0,则x≥0.(  )

(2)两个实数a,b之间,有且只有a>

b,a=b,a<

b三种关系中的一种.(  )

(3)若a>

b,则ac2>

bc2.(  )

.(  )

(5)若x>

1,则x3+2x与x2+2的大小关系为x3+2x>

x2+2.(  )

答案 

(1)√ 

(2)√ (3)×

 (4)×

 (5)√

                   

2.做一做

(1)已知a+b>

0,b<

0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(  )

A.a>

-b>

-aB.a>

-a>

b

C.a>

-aD.a>

-b

(2)设b<

a,d<

c,则下列不等式中一定成立的是(  )

A.a-c>

b-dB.ac>

bd

C.a+c>

b+dD.a+d>

b+c

(3)已知x<

1,则x2+2与3x的大小关系是________.

答案 

(1)C 

(2)C (3)x2+2>

3x

题型一作差法比较大小                   

例1 比较下列各组中两数的大小:

(1)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2;

(2)已知x<

1,比较x3-1与2x2-2x;

(3)已知x,y均为正数,设m=+,n=,比较m与n的大小.

[解] 

(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)

=a3+b3-a2b-ab2

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

=(a-b)2(a+b).

∵a>

0,b>

0且a≠b,∴(a-b)2>

0,a+b>

0,

∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>

0,即a3+b3>

a2b+ab2.

(2)x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1

=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2

=(x-1)(x2-x+1)=(x-1).

∵x<

1,∴x-1<

0.又2+>

∴(x-1)<

0,∴x3-1<

2x2-2x.

(3)∵m-n=+-=-==.

又x,y均为正数,

∴x>

0,y>

0,xy>

0,x+y>

0,(x-y)2≥0.

∴m-n≥0,即m≥n(当x=y时,等号成立).

[变式探究] 若将本例

(2)中“x<

1”改为“x∈R”,则x3-1与2x2-2x的大小又如何呢?

解 由例题知x3-1-(2x2-2x)=(x-1),∵2+>

∴当x-1<

0,即x<

1时,x3-1<

2x2-2x;

当x-1=0,即x=1时,x3-1=2x2-2x;

当x-1>

0,即x>

1时,x3-1>

金版点睛

作差比较法的四个步骤

 

 

(1)比较x3+6x与x2+6的大小;

(2)已知a,b∈R,x=a3-b,y=a2b-a,试比较x与y的大小.

解 

(1)(x3+6x)-(x2+6)=x(x2+6)-(x2+6)=(x-1)(x2+6).

∵x2+6>

∴当x>

1时,x3+6x>

x2+6;

当x=1时,x3+6x=x2+6;

当x<

1时,x3+6x<

x2+6.

(2)x-y=a3-b-a2b+a=a2(a-b)+a-b

=(a-b)(a2+1).

当a>b时,x-y>0,所以x>y;

当a=b时,x-y=0,所以x=y;

当a<b时,x-y<0,所以x<y.

题型二不等式的性质及应用                   

例2 下列命题正确的是________.

①<

且c>

0⇒a>

②a>

b且c>

d⇒ac>

③a>

0且c>

0⇒>

④>

⇒a>

[解析] ①⇒<

当a<

0时,满足已知条件,但推不出a>

b,∴①错误.

②当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,命题显然不成立.∴②错误.

③⇒>

成立.∴③正确.

④显然c2>

0,∴两边同乘以c2得a>

b.∴④正确.

[答案] ③④

解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定,其实质是看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的结论,也可举出一个反例予以否定.

 

(1)判断下列命题是否正确,并说明理由:

①若>

,则ad>

②设a,b为正实数,若a-<

b-,则a<

(2)若a<

b<

0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由:

②>

.

解 

(1)①由>

,所以->

即>

0,所以或

即ad>

bc且cd>

0或ad<

bc且cd<

0,故不正确.

②因为a-<

b-,且a>

0,所以a2b-b<

ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<

0⇒ab(a-b)+(a-b)<

0⇒(a-b)(ab+1)<

0,所以a-b<

0,即a<

b正确.

(2)①成立.由a<

0得a<

所以<

②成立.因为a<

0,所以a+b<

所以>

题型三利用不等式的性质证明不等式                   

例3 

(1)已知a>

b,e>

f,c>

0,求证:

f-ac<

e-bc;

(2)已知a>

(3)已知bc-ad≥0,bd>

0.求证:

≤.

[证明] 

(1)∵a>

0,∴ac>

∴-ac<

-bc.

∵f<

e,∴f-ac<

e-bc.

(2)∵c<

0,∴-c>

-d>

又a>

0,∴a-c>

b-d>

∴0<

.再由0<

a,∴<

(3)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,又∵bd>

∴≤.∴+1≤+1.∴≤.

利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧

(1)实质:

就是根据不等式的性质把不等式进行变形,要注意不等式的性质成立的条件.

(2)技巧:

若不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.

 

(1)已知c>

a>

(2)已知a,b,x,y都是正数,且>

,x>

y,求证:

证明 

(1)∵a>

b,∴-a<

-b,又c>

0,∴0<

c-a<

c-b,

∴>

0.又∵a>

0,∴>

(2)∵a,b,x,y都是正数,且>

y,∴>

,故<

,则+1<

+1,即<

题型四利用不等式的性质求取值范围                   

例4 

(1)已知2<

a≤5,3≤b<

10,求a-b,的取值范围;

(2)已知-≤α<

β≤,求,的取值范围.

[解] 

(1)∵3≤b<

10,∴-10<

-b≤-3.

又2<

a≤5,∴-8<

a-b≤2.

又<≤,∴<

(2)∵-≤α<

β≤,

∴-≤<

,-<

两式相加得-<

∵-≤<

≤,-≤-<

两式相加得-≤<

又α<

β,∴<

0,∴-≤<

[变式探究] 将本例

(1)中,条件不变,求a+b,ab的取值范围.

解 由2<

a≤5,3≤b<10得

2+3<

a+b<

5+10,2×

3<

ab<

10,

即5<

15,6<

50.

利用不等式的性质求取值范围应注意的问题

本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围,应严格利用不等式的性质去求范围;

其次在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求的与已知的“范围”间的联系.如已知20<x+y<30,15<x-y<18,要求2x+3y的范围,不能分别求出x,y的范围,再求2x+3y的范围,应把已知的“x+y”“x-y”视为整体,即2x+3y=(x+y)-(x-y),所以需分别求出(x+y),-(x-y)的范围,两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”,即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系,然后去求.

 已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.

解 令a+b=μ,a-b=v,

则2≤μ≤4,1≤v≤2.

由解得

因为4a-2b=4·

-2·

=2μ+2v-μ+v=μ+3v,

而2≤μ≤4,3≤3v≤6,

所以5≤μ+3v≤10.

所以5≤4a-2b≤10.

1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是(  )

A.m<

nB.m>

n

C.m≥nD.m≤n

答案 D

解析 ∵n-m=x2≥0,∴n≥m.

2.设a,b,c,d∈R,则(  )

b,c=d⇒ac<

B.>

C.a3>

b3,ab>

D.a2>

b2,ab>

答案 C

解析 用排除法,A错误,显然c=d=0时,结论不成立.B错误,c<

0时,结论不成立.D错误,a=-2,b=-1时,结论不成立.故选C.

3.已知a<

0,-1<

0,下列不等式成立的是(  )

ab>

ab2B.ab2>

a

C.ab>

ab2D.ab>

ab2>

解析 本题可以根据不等式的性质来解,由于-1<

0,所以0<

b2<

1⇒a<

ab2<

0,且ab>

0,易得答案为D.

本题也可以根据a,b的范围取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正

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