学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第Word格式.docx
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a,那么a>
b,即a>
b⇔b<
a.
(2)如果a>
b,且b>
c,那么a>
c,即a>
b,b>
c⇒a>
c.
(3)如果a>
b,那么a+c>
b+c.
(4)如果a>
b,c>
0,那么ac>
bc;
如果a>
b,c<
0,那么ac<
bc.
(5)如果a>
d,那么a+c>
b+d.
(6)如果a>
b>
0,c>
d>
bd;
0,c<
d<
bd.
(7)如果a>
0,那么an>
bn(n∈N,n≥2).
(8)如果a>
0,那么>
(n∈N,n≥2).
【新知拓展】
1.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加,但不可以相减,如a>
d不能推出a-c>
b-d.
2.常用的结论
b,ab>
0⇒<
;
(2)b<
0<
a⇒>
(3)a>
0⇒>
(4)若a>
0,m>
0,则>
<
(b-m>
0);
>
0).
3.比较大小的方法
比较数(式)的大小常用作差与0比较.
作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形,前者将“差”化为“积”,后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”,也可二者并用.
4.利用不等式求范围应注意的问题
求指定代数式的取值范围,必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若x2=0,则x≥0.( )
(2)两个实数a,b之间,有且只有a>
b,a=b,a<
b三种关系中的一种.( )
(3)若a>
b,则ac2>
bc2.( )
.( )
(5)若x>
1,则x3+2x与x2+2的大小关系为x3+2x>
x2+2.( )
答案
(1)√
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.做一做
(1)已知a+b>
0,b<
0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
A.a>
-b>
-aB.a>
-a>
b
C.a>
-aD.a>
-b
(2)设b<
a,d<
c,则下列不等式中一定成立的是( )
A.a-c>
b-dB.ac>
bd
C.a+c>
b+dD.a+d>
b+c
(3)已知x<
1,则x2+2与3x的大小关系是________.
答案
(1)C
(2)C (3)x2+2>
3x
题型一作差法比较大小
例1 比较下列各组中两数的大小:
(1)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2;
(2)已知x<
1,比较x3-1与2x2-2x;
(3)已知x,y均为正数,设m=+,n=,比较m与n的大小.
[解]
(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b).
∵a>
0,b>
0且a≠b,∴(a-b)2>
0,a+b>
0,
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>
0,即a3+b3>
a2b+ab2.
(2)x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1).
∵x<
1,∴x-1<
0.又2+>
∴(x-1)<
0,∴x3-1<
2x2-2x.
(3)∵m-n=+-=-==.
又x,y均为正数,
∴x>
0,y>
0,xy>
0,x+y>
0,(x-y)2≥0.
∴m-n≥0,即m≥n(当x=y时,等号成立).
[变式探究] 若将本例
(2)中“x<
1”改为“x∈R”,则x3-1与2x2-2x的大小又如何呢?
解 由例题知x3-1-(2x2-2x)=(x-1),∵2+>
∴当x-1<
0,即x<
1时,x3-1<
2x2-2x;
当x-1=0,即x=1时,x3-1=2x2-2x;
当x-1>
0,即x>
1时,x3-1>
金版点睛
作差比较法的四个步骤
(1)比较x3+6x与x2+6的大小;
(2)已知a,b∈R,x=a3-b,y=a2b-a,试比较x与y的大小.
解
(1)(x3+6x)-(x2+6)=x(x2+6)-(x2+6)=(x-1)(x2+6).
∵x2+6>
∴当x>
1时,x3+6x>
x2+6;
当x=1时,x3+6x=x2+6;
当x<
1时,x3+6x<
x2+6.
(2)x-y=a3-b-a2b+a=a2(a-b)+a-b
=(a-b)(a2+1).
当a>b时,x-y>0,所以x>y;
当a=b时,x-y=0,所以x=y;
当a<b时,x-y<0,所以x<y.
题型二不等式的性质及应用
例2 下列命题正确的是________.
①<
且c>
0⇒a>
②a>
b且c>
d⇒ac>
③a>
0且c>
0⇒>
;
④>
⇒a>
[解析] ①⇒<
当a<
0时,满足已知条件,但推不出a>
b,∴①错误.
②当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,命题显然不成立.∴②错误.
③⇒>
成立.∴③正确.
④显然c2>
0,∴两边同乘以c2得a>
b.∴④正确.
[答案] ③④
解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定,其实质是看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的结论,也可举出一个反例予以否定.
(1)判断下列命题是否正确,并说明理由:
①若>
,则ad>
②设a,b为正实数,若a-<
b-,则a<
(2)若a<
b<
0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由:
②>
.
解
(1)①由>
,所以->
即>
0,所以或
即ad>
bc且cd>
0或ad<
bc且cd<
0,故不正确.
②因为a-<
b-,且a>
0,所以a2b-b<
ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<
0⇒ab(a-b)+(a-b)<
0⇒(a-b)(ab+1)<
0,所以a-b<
0,即a<
b正确.
(2)①成立.由a<
0得a<
所以<
②成立.因为a<
0,所以a+b<
所以>
题型三利用不等式的性质证明不等式
例3
(1)已知a>
b,e>
f,c>
0,求证:
f-ac<
e-bc;
(2)已知a>
(3)已知bc-ad≥0,bd>
0.求证:
≤.
[证明]
(1)∵a>
0,∴ac>
∴-ac<
-bc.
∵f<
e,∴f-ac<
e-bc.
(2)∵c<
0,∴-c>
-d>
又a>
0,∴a-c>
b-d>
∴0<
.再由0<
a,∴<
(3)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,又∵bd>
∴≤.∴+1≤+1.∴≤.
利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧
(1)实质:
就是根据不等式的性质把不等式进行变形,要注意不等式的性质成立的条件.
(2)技巧:
若不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.
(1)已知c>
a>
(2)已知a,b,x,y都是正数,且>
,x>
y,求证:
证明
(1)∵a>
b,∴-a<
-b,又c>
0,∴0<
c-a<
c-b,
∴>
0.又∵a>
0,∴>
(2)∵a,b,x,y都是正数,且>
y,∴>
,故<
,则+1<
+1,即<
题型四利用不等式的性质求取值范围
例4
(1)已知2<
a≤5,3≤b<
10,求a-b,的取值范围;
(2)已知-≤α<
β≤,求,的取值范围.
[解]
(1)∵3≤b<
10,∴-10<
-b≤-3.
又2<
a≤5,∴-8<
a-b≤2.
又<≤,∴<
(2)∵-≤α<
β≤,
∴-≤<
,-<
两式相加得-<
∵-≤<
≤,-≤-<
,
两式相加得-≤<
又α<
β,∴<
0,∴-≤<
[变式探究] 将本例
(1)中,条件不变,求a+b,ab的取值范围.
解 由2<
a≤5,3≤b<10得
2+3<
a+b<
5+10,2×
3<
ab<
5×
10,
即5<
15,6<
50.
利用不等式的性质求取值范围应注意的问题
本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围,应严格利用不等式的性质去求范围;
其次在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求的与已知的“范围”间的联系.如已知20<x+y<30,15<x-y<18,要求2x+3y的范围,不能分别求出x,y的范围,再求2x+3y的范围,应把已知的“x+y”“x-y”视为整体,即2x+3y=(x+y)-(x-y),所以需分别求出(x+y),-(x-y)的范围,两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”,即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系,然后去求.
已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
解 令a+b=μ,a-b=v,
则2≤μ≤4,1≤v≤2.
由解得
因为4a-2b=4·
-2·
=2μ+2v-μ+v=μ+3v,
而2≤μ≤4,3≤3v≤6,
所以5≤μ+3v≤10.
所以5≤4a-2b≤10.
1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是( )
A.m<
nB.m>
n
C.m≥nD.m≤n
答案 D
解析 ∵n-m=x2≥0,∴n≥m.
2.设a,b,c,d∈R,则( )
b,c=d⇒ac<
B.>
C.a3>
b3,ab>
D.a2>
b2,ab>
答案 C
解析 用排除法,A错误,显然c=d=0时,结论不成立.B错误,c<
0时,结论不成立.D错误,a=-2,b=-1时,结论不成立.故选C.
3.已知a<
0,-1<
0,下列不等式成立的是( )
ab>
ab2B.ab2>
a
C.ab>
ab2D.ab>
ab2>
解析 本题可以根据不等式的性质来解,由于-1<
0,所以0<
b2<
1⇒a<
ab2<
0,且ab>
0,易得答案为D.
本题也可以根据a,b的范围取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正