安徽高考理科数学试题及答案.docx
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安徽高考理科数学试题及答案
由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A.B.
C.D.
6.函数的图像在点处的切线方程为
A.B.
C.D.
7.设函数在的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为
A.B.
C.D.
8.的展开式中x3y3的系数为
A.5B.10C.15D.20
9.已知,且,则
A.B.C.D.
10.已知为球的球面上的三个点,⊙为的外接圆,若⊙的面积为,,则球的表面积为
A.B.C.D.
11.已知⊙M:
,直线:
,为上的动点,过点作⊙M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为
A.B.C.D.
12.若,则
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为.
14.设为单位向量,且,则.
15.已知F为双曲线的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.
16.如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项.
(1)求的公比;
(2)若,求数列的前项和.
18.(12分)
如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,.是底面的内接正三角形,为上一点,.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的余弦值.
19.(12分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
20.(12分)
已知A、B分别为椭圆E:
(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:
直线CD过定点.
21.(12分)
已知函数.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,是什么曲线?
(2)当时,求与的公共点的直角坐标.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)画出的图像;
(2)求不等式的解集.
理科数学试题参考答案(A卷)
选择题答案
一、选择题
1.D2.B3.C4.C
5.D6.B7.C8.C
9.A10.A11.D12.B
非选择题答案
二、填空题
13.114.15.216.
三、解答题
17.解:
(1)设的公比为,由题设得即.
所以解得(舍去),.
故的公比为.
(2)设为的前n项和.由
(1)及题设可得,.所以
,
.
可得
所以.
18.解:
(1)设,由题设可得,
.
因此,从而.
又,故.
所以平面.
(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设可得.
所以.
设是平面的法向量,则,即,
可取.
由
(1)知是平面的一个法向量,记,
则.
所以二面角的余弦值为.
19.解:
(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为;
乙连胜四场的概率为;
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:
胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,.
因此丙最终获胜的概率为.
20.解:
(1)由题设得A(–a,0),B(a,0),G(0,1).
则,=(a,–1).由=8得a2–1=8,即a=3.
所以E的方程为+y2=1.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).
若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知–3由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).
直线PB的方程为y=(x–3),所以y2=(x2–3).
可得3y1(x2–3)=y2(x1+3).
由于,故,可得,
即①
将代入得
所以,.
代入①式得
解得n=–3(含去),n=.
故直线CD的方程为,即直线CD过定点(,0).
若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(,0).
综上,直线CD过定点(,0).
21.解:
(1)当a=1时,f(x)=ex+x2–x,则=ex+2x–1.
故当x∈(–∞,0)时,<0;当x∈(0,+∞)时,>0.所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2)等价于.
设函数,则
.
(i)若2a+1≤0,即,则当x∈(0,2)时,>0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
(ii)若0<2a+1<2,即,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g
(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥.
所以当时,g(x)≤1.
(iii)若2a+1≥2,即,则g(x)≤.
由于,故由(ii)可得≤1.
故当时,g(x)≤1.
综上,a的取值范围是.
22.解:
(1)当k=1时,消去参数t得,故曲线是圆心为坐标原点,半径为1的圆.
(2)当k=4时,消去参数t得的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
由解得.
故与的公共点的直角坐标为.
23.解:
(1)由题设知
的图像如图所示.
(2)函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像.
的图像与的图像的交点坐标为.
由图像可知当且仅当时,的图像在的图像上方,
故不等式的解集为.