数学建模竞赛论文创意平板折叠桌大学毕业设计论文文档格式.docx
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1.给定长方形平板尺寸为120cm×
50cm×
3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（下图中红色曲线）的数学描述。
2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。
3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
二问题分析
问题一：
1.为描述折叠桌的动态过程，我们首先将桌子的动态过程看做两部分的变化，一部分为桌子直立时上端桌腿的变化，一部分为上端桌子成形后桌面的变化，两部分都通过描述点的变化来描述折叠桌的动态变化过程。
第一部分，如图1所示，将桌腿由外及内依次编号1，2,3...10,先利用桌子稳定放置时的状态，用已知最外侧桌腿的长度及桌子的高度（不包括桌面的厚度）计算出最外侧桌腿与水平面的夹角，将与β看做互补，边长a可以通过已知参数计算求出，再利用余弦定理求出边长即桌子稳定放置时铰链到桌腿顶端的长度，再利用正弦定理求出第2条边与桌面的夹角α，得出第2条腿的长度，以此类推，依次求出10条桌腿与桌面的夹角的度数α，桌子稳定放置时铰链到桌腿顶端的长度和桌腿的长度（i=1,2,3，...），如图2建立空间直角坐标系，通过假设上端桌腿转动时角度的变化，从而得出变化后点的坐标，以第1条桌腿和第2条桌腿的底端中点的运动轨迹表示第一部分的动态变化过程，通过matlab拟合得出桌腿变化过程的大致曲线，进一步得出第一部分的变化过程；
第二部分，如图2上的A点
2.为了得出折叠桌的设计加工参数，第1步求出的桌腿长度，桌腿与桌面的夹角α，都可作为设计加工参数，通过计算得出的和，进一步得出桌腿木条上开槽的长度，而桌角边缘线的确定，则是通过第1步中两部分变化结束后上端桌腿的底端中点的坐标来进一步确定。
问题二
根据题目中的要求，本文先用字母表示参数及变量例如：
平板的长度，桌腿的长度等参数，同时在已知桌面直径和桌子高度的情况下，假设桌腿的宽度仍为2.5cm，并用关系式表示出参数及变量间的的关系，假设数据并带入求出相关参数的值，进一步确定最优的实际参数，本题中将桌面圆弧上的点所在的曲线和桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的二次曲线视为大致相同。
问题三
在第二问的基础上，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的要求，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，用matlab描述桌子的动态变化过程。
图1
图2
二模型假设
1.假设每条腿之间没有缝隙；
2.假设实际加工误差对设计没有影响；
3.假设桌腿顶端与桌面没有缝隙；
4.假设将动态过程表示成两部分时，第一部分变化时，桌子底端的桌腿的变化忽略不计。
三符号说明
a:
长方形木板的长；
b：
长方形木板的宽；
c:
长方形木板的厚度；
d:
每根木条的宽度；
h：
桌子折叠后的高度
：
桌腿与水平面的夹角；
β:
α的补角;
：
木条动态变化过程中第一部分由初始状态变为稳定状态的的过程中桌腿变化的角度；
:
桌腿的长度;
:
桌子稳定放置时铰链到桌腿顶端的长度;
木条的开槽长度；
（i=1,2,3，......10）
四模型的建立与求解
1.模型准备：
（1）由题目已知，长方形平板尺寸为120cm×
3cm，每根木条宽2.5cm，假设每根木条顶端的中点均在桌面所在圆上，根据木条的宽度，可以得出圆桌两边的木条根数分别为=20根，可以看出桌子每边的木条都是对称的，且运动过程可以看做是对称的，因此本文计算出桌子一侧10根木条设计参数来描述桌子的动态变化过程，用公式
（1）可以计算出木条的长度，计算结果如表1。
=（i=1,2,3...10）
（1）表1：
木条编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度m（cm）
52.19
46.88
43.46
41
39.12
37.67
36.58
35.79
35.28
35.03
（注：
在计算出第一根木条长度的基础上，我们利用直角三角形斜边长度大于直角边的性质得出最外侧木条长度大于桌子的高度（不包括桌面厚度时），由此证明我们利用每根木条顶端的中点在桌面所在的圆上的方法是可取的，由此我们进行了下一步计算）。
（2）计算桌腿与水平面的角度
sin==50/52.19=0.958；
=（arcsin0.958）*（/）=106.62度
如图1所示，将与看做互补的角，记=，=，=，则=-（i=2,3,......10）
（2）
=（i=2,3，......,10）（3）
==26.095;
利用余弦定理计算：
（4）
利用正弦定理计算：
=（5）
利用公式
（2）得出表2结果如下：
i
/（cm）
5.31
3.33
2.46
1.81
1.45
0.09
0.79
0.51
0.22
结合公式（3）（4）得出表3结果如下：
/
26.095
25.13
25.09
25.075
25.06
25.067
25.064
25.052
25.057
25.054
利用公式（5）得出表4结果如下：
0.958
0.997
0.9985
0.9991
0.9997
0.9994
0.9995
0.9998
0.9999
106.62
94.435
93.139
92.431
91.404
91.985
91.1812
90
88.854
89.19
2.模型建立及求解：
（1）动态过程描述
如图2所示建立的空间直角坐标系，此时木板所处的位置为初始位置,记录此时木条1,2的顶端中点的坐标,分别为（23.25cm,0,120cm），（21.25cm，0,120cm），由模型准备中计算出的的参数,写出第一部分动态过程结束后即图3所示木条1,2的顶端中点的坐标,分别为（23.75cm,49.998cm,82.7764cm），（21.25cm,46,7394cm,76,7486cm），而木条1,2的角度的变化分为分别为（0，73.38）,（0，85.565）；
在描述动态变化的过程时，本文通过假设木条不同时刻角度的变化进一步写出木条顶端中点的坐标，见附录1中的表5~表14：
将表5~表14表示的点用附录2的matlab画出散点图如下图5~图15，通过matlab编程进行二次和三次的拟合（分别为图4~图5中的红线和蓝线表示的曲线），通过拟合可以看出，三次的拟合效果较好（表5~表14上的点基本位于三次拟合的曲线上），得出如下的关系式：
第1条木条：
z（y）=-0.0004y^3+0.0091y^2-0.2506y+120.5071（6）
第2条第二条木条：
z（y）=-0.0008y^3+0.0327y^2-0.5865y+121.2163（7）
第三条木条：
z（y）=-0.0010y^3+0.0362y^2-0.5997y+121.1561（8）
第4条木条：
z（y）=-0.0011y^3+0.0397y^2-0.06179y+121.1277（9）
第5条木条：
z（y）=-0.0013y^3+0.0416y^2-0.6179y+121.0760（10）
第6条木条：
z（y）=-0.0014y^3+0.0432y^2-0.6179y+121.0361（11）
第7条木条：
z（y）=-0.0014y^3+0.0045y^2-0.6179y+121.0062（12）
第八条木条：
z（y）=-0.0016y^3+0.0496y^2-0.6648y+121.0677（13）
第9条木条：
z（y）=-0.0018y^3+0.0568y^2-0.7382y+121.1798（14）
第十条木条：
z（y）=-0.0018y^3+0.0579y^2-0.7469y+121.1865（15）
由公式（6）~（15）可以描述第一部分桌子的动态变化过程。
描述第二部分的动态变化过程，本文通过描述图2上点D的变化轨迹来描述第二部分圆形桌面的的动态变化过程，已知点E在上端桌腿变化和圆形桌面变化时始终是固定，由此建立极坐标方程描述点D的变化过程：
（2）加工参数计算
木条长度m，桌子平稳放置时木条与水平桌面的夹角在模型准备时均
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