线性代数公式定理综合.doc

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第一章 行列式

1．逆序数

1.1定义

个互不相等的正整数任意一种排列为：

，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用表示，等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即。

证明如下：

设排列为，作次相邻对换后，变成，再作次相邻对换后，变成，共经过次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1，要么减少1，相当于，也就是排列必改变改变奇偶性，次相邻对换后，故原命题成立。

2．阶行列式的5大性质

性质1：

转置（行与列顺次互换）其值不变。

性质2：

互换任意两行（列）其值变号。

性质3：

任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。

性质4：

任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。

性质5：

把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评注对性质4的重要拓展：

设阶同型矩阵，，而行列式只是就某一列分解，所以，应当是个行列式之和，即。

评注韦达定理的一般形式为：

2

一、行列式定义

1．定义

其中逆序数后面的小的数的个数后面比小的数的个数后面比小的数的个数.

2．三角形行列式

二、行列式性质和展开定理

1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.

2．展开定理

三、重要公式

设A是n阶方阵，则

1．

2．

3．

4．

5．，其中B也是n阶方阵

6．设B为m阶方阵，则

7．范德蒙行列式

四．有关结论

1．对于

（1）

（2）

2.为阶可逆矩阵

（与等价）

只有惟一零解

有惟一解（克莱姆法则）

的行（列）向量组线性无关

的n个特征值

可写成若干个初等矩阵的乘积

是正定矩阵

是中某两组基之间的过渡矩阵

3.为阶不可逆矩阵

有非零解

0是的特征值

4.若为阶矩阵，为的n个特征值，则

5.若，则

行列式的基本计算方法：

1.应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。

2.按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。

在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。

行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。

典型题:

一.数字行列式的计算.

1.利用行列式的定义.

2.利用行列式的基本性质.

3.一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。

递推公式.

二.行列式的代数余子式的相关计算.

三.类型成抽象行列式的计算.

1.与向量成分块矩阵结合

2与特征值、特征向量结合.

4与代数余子式结合.

四.范德蒙行列式与克莱姆法则

第二章矩阵

一内容概要

1矩阵的概念

注意它和行列式的区别：

1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，才有意义，但是；此外当A是长方形矩阵时没有意义。

2矩阵的运算及其运算律

（1）矩阵的相等；

（2）矩阵的线性运算：

a）矩阵的和：

A+B注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；

b）矩阵的数乘（或称数乘矩阵）；

c）一般地，若有意义，称为矩阵的一个线性运算；

3矩阵的转置

将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵，称为矩阵A的转置。

4矩阵的乘法

矩阵乘法的定义：

注意指出：

在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而

5关于矩阵运算的运算律要注意的问题：

1）一般地原因是a）AB与BA不一定同时有意义；b）即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如

；

c）即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。

例如

2）矩阵的乘法不满足消去律，

即一般地若

3）若

3几种特殊类型的矩阵

（1）0矩阵；

（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；

（5）对称矩阵：

若；

（6）反对称矩阵：

若；

关于反对称矩阵常用的结论：

1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则;

（7）正交矩阵：

若，则称A是正交矩阵。

关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：

若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：

；

（8）阶梯形矩阵

若A满足：

0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；

关于阶梯形矩阵：

任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；

（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；

（10）初等矩阵：

初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。

4分块矩阵

当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。

矩阵分块的原则：

在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；

分块矩阵运算的原则：

（1）分块矩阵的加法：

若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；

（2）分块矩阵的乘法：

若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。

5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价

（1）初等矩阵的定义：

对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；

用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。

（2）初等变换

初等行变换、初等列变换；

（3）初等变换与初等矩阵之间的关系

对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：

对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。

举例说明

（4）矩阵A与B等价

如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：

是初等矩阵

每一个矩阵A都与矩阵等价，其中r是矩阵A的秩，即存在

6关于n阶矩阵的逆矩阵

（1）逆矩阵的定义：

设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得

AB=E或BA=E

则称矩阵A是可逆的；

（2）n阶方阵A可逆的充要条件

1）用矩阵的方式描述：

存在矩阵B使得AB=E或BA=E（即定义）；

2）用A的行列式;

3）用矩阵的秩来描述：

4）用向量的观点来描述：

矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；

5）用方程组的观点来描述：

方程组AX=0仅有0解；

6）用矩阵A的特征值来描述：

A的特征值全不0；

（3）逆矩阵的性质

1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；

2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且;

3）;

4）

（4）逆矩阵的求法

1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。

这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；

初等变换求逆矩阵的方法：

2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：

AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；

3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；

（5）关于伴随矩阵

1）伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；

2）伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵

当

对于一般地方阵A，其伴随矩阵的秩为：

当。

（6）关于矩阵的秩

1）矩阵秩的定义：

在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，称为矩阵A的最高阶非0子式。

规定0矩阵的秩是0。

2）矩阵的秩与初等变换的关系：

对矩阵A实行初等变换其秩不变

3）矩阵秩的求法应用上面的结论，求矩阵A的秩其一般方法是

4）有关矩阵秩的重要结论

若P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则

若A为矩阵，B为矩阵，且AB=0，则：

此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。

二常见题型

题型一：

有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查

在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用来进行。

题型二矩阵可逆的计算与证明

（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；

（2）如果给定了抽象的条件，要求，此时注意将条件转化为AB=E，或BA=E,此时的B就是要求的。

在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。

题型三关于伴随矩阵

逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。

这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。

题型四有关初等矩阵及其初等变换的问题

题型五解矩阵方程

将所给的条件转化为矩阵方程：

的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。

对于矩阵方程，则这里的矩阵；

或者先求出。

对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。

题型5关于矩阵的秩

1具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；

2利用矩阵的秩，等于矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。

3注意矩阵秩的有关不等式。

题型6求一个方阵的高次幂

当A是一个方阵的时候，才有意义，否则没有意义。

第三章n维向量空间

§3.1n维向量的定义

1.定义

定义：

个数构成的有序数组,记作,

称为维行向量．

––称为向量的第个分量

––称为实向量（下面主要讨论实向量）

––称为复向量

零向量：

负向量：

列向量：

个数构成的有序数组,记作,

或者,称为维列向量．

零向量：

负向量：

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．

§3.2n维向量的线性运算

1．定义

线性运算：

相等：

若,称．

加法：

数乘：

减法：

2．线性运算律：

,

（1）（5）

（2）（6）

（3）（7）

（4）（8）

§3.3向量组的线性相关性

1．线性组合与线性表示

对维向量及,若有数组使得

称为的线性组合,

或可由线性表示．

例如，

有

，

所以称是的线性组合，或可由线性表示。

判别是否可由向量组线性表示的定理：

定理1向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：

以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。

2．向量组的线性相关性

对维向量组,若有数组不全为0,使得

称向量组