动量守恒定律和能量守恒定律Word格式.docx

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负号表示冲量的方向向下。

3-3高空作业时系安全带是非常必要的。

假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空跌落下来，由于安全带保护，最终使他悬挂起来。

已知此时人离原处的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。

求安全带对人的平均冲力。

在人下落的整个过程中，重力的冲量和安全带冲量相等，但方向相反。

设人自由落体的那段时间为t

则

，代入

3-4质量为m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为v，圆半径为R。

圆锥母线与轴线之间的夹角为，计算拉力在一周内的冲量。

建立图3-4所示的三维直角坐标系

根据功能原理，质点运动一周内，合力的冲量为

所以拉力在一周内的冲量为

T为拉力，P为重力。

3-5一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面19.6m爆炸1.00s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为1.00×

102m。

问第二块落在距抛出点多远的地面上。

（不计空气阻力）

建立如图3-5所示的坐标系，爆炸后，两碎片落地后，抛出点的距离分别为，爆炸前物体的运动时间为：

物体在最高点只有水平速度：

爆炸后，第一块的速度为，经时间落地，则：

爆炸前后系统动量守恒，其分量式为

x方向：

y方向：

爆炸后，第二块作斜抛运动，经过时间落地，则：

落地时，

联立所有式子，得：

3-6A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳的传递50kg的重物，结果是A船停下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。

A、B两船原有质量为，求在传递重物前两船的速度。

（忽略水对船的阻力）。

由于忽略水对船的阻力，满足水平方向动量守恒定律。

设两船的速度分别为、，末速度为、原来的质量分别为、转移的质量为

对上述系统应用动量守恒定律：

（搬出重物后A船与从B船搬入的重物为一个系统）

对系统应用动量守恒定律：

（B船与从A船搬入的重物为一个系统）

由上面两式联立解出：

将已知数据代入得

3-7质量为的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成角的速率向前跳去。

当他达到最高点时，他将物体相对于人为u的水平速度向后抛出。

问：

由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？

（假设人可视为质点）

把人与物可视为一系统，当人跳跃到最高处，向左抛出的过程中，满足动量守恒定律，有

人从最高点开始水平运动的距离为

如果不抛物人从最高点开始水平运动的距离为

人跳跃后增加的距离为

3-8一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。

如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。

试证明：

在绳下落过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面下绳的重量的三倍。

证：

以绳子上端初始位置为坐标原点，竖直向下为y轴正向，绳子的线密度为，设在t时间内落到桌面上的绳子长度为y，这段绳子所受的重力为，对于内下落绳子长设为，桌面对绳子的冲力为F

由动量定理

桌面在时间内所受的合力为

由自由落体运动，带入上式：

证毕。

3-9设在地球表面附近，一初质量为的火箭，从尾部喷出气体的速率为。

（1）试问：

每秒喷出多少气体，才能使火箭最初向上的加速度为；

（2）若火箭的质量比为6.00，求该火箭的最后速率？

以绳子上段初始位置为坐标原点，竖直向下为y轴的正向，绳子的线密度为λ，设在t时间内落到桌子上的绳子的长度为y，这段绳子所受的重力为G=mg=λyg，对于t~t+dt内下落的绳子长设为dy，桌面对绳子的冲击力为F

由动量守定律

桌面在t+dt时间内所受的合力为

自由落体运动，代入上式得：

3-10设在地球表面附近，一初质量为的火箭，从尾部喷出的气体的速率为。

试问：

（1）每秒需喷出多少气体，才能使火箭最初向上的加速度大小为；

（2）若火箭的质量比为6.00，求该火箭的最后速率。

（1）设火箭受气体的冲击力为F，则

再由牛顿第二定律得：

现在考虑。

则燃料喷出率为：

（1）将代入

（1）式，分离变量并积分可得：

所以

由于即解得：

将（3）式代入

（2）式并考虑初始条件可得火箭的最后速率为：

3-11一火箭垂直向上发射，它的气体质量排出率恒为，其中是火箭最初的质量。

火箭排除的气体相对于火箭的速率为。

求发射后火箭速率和高度。

（重力略去不计）

以发射点为原点建立垂直向上的坐标轴，设时刻火箭（含未排除气体）的质量为，速率为，经时间排出气体质量为，火箭速率变为，排出气体的速率为，由于忽略重力，系统的动量守恒，所以有：

整理得：

（2）当上式积分并考虑时，

所以：

设（其中）代入

（1）式得

故时，

将代入

（2）式得

分离变量积分，并代入初始条件时，得火箭发射后的高度

3-12铁路上有一静止的平板车，其质量为，设平板车可无摩擦的在水平轨道上运动，现有个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为，相对平板车的速度均为问：

在下列两种情况下，

（1）个人同时跳离；

（2）一个人，一个人的跳离，平板车的末速度是多少？

所得的结果为何不同，其物理原因是什么？

（1）所有人同时跳，水平方向动量守恒。

车的末速度为，人的速度为

（2）若个人一个一个跳，则每个人跳车的动量守恒方程为：

第一人跳：

;

第二个人跳：

以此类推：

将以上各式两边相加，化简后得平板车的末速度为;

由于

即一个一个跳，车的末速度大于个人同时跳车的末速度。

其物理原因是个人逐跳时，车的速度逐次增大，导致跳车者对平板车所做的功也逐次增大，因而平板车获得的动能要大于个人跳的情况。

3-13如习题3-13图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平平面上，若用的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成角变为角时，力对物体所做的功为多少？

已知滑轮与水平面之间的距离。

以物体的初始位置为原点，建立如图1-13（b）所示的坐标系，当移动很小距离dx时，F对物体所做的功为：

由于，所以将dx关系代入

（1）式可得：

3-14一物体在介质中按规律作直线运动，c为一常数。

设介质对物体的阻力正比于速度的平方。

试求物体由运动到时，阻力所做的功。

（已知阻力系数为k）

根据题意设物体所受的阻力

由速度的定义可得：

由功的定义得阻力所做的功为：

3-15一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水，水桶被匀速地从井中提到井口，求人所做的功。

以桶在井中的初始位置为坐标原点，建立竖直向上的坐标轴oy则水桶在上升的过程中的重力P=mg-ky；

式中k=0.2g（kg/m），因桶始终保持匀速上升，故拉力F与重力P是平衡力，即F=mg-ky，方向沿oy轴正向，拉力的功为：

将代入上式可得：

3-16一质量为0.20kg的球，系在长为2.00m的细绳子上，细绳的另一端系在天花板上。

把小球移至使细绳与竖直方向成30°

角的位置，然后从静止放开。

求

（1）在绳子由30°

角的位置到0°

的位置的过程中，重力和张力所做的功；

（2）物体在最低位置时的动能和速率；

（3）在最低位置时的张力。

（1）由于张力方向始终与运动方向垂直，所以张力FT做功为0，即。

设0度角时小球的势能为0，30°

角时势能为

由于势能的变化等于重力所做的功可知：

（2）由于势能完全转化为动能。

所以小球在最低点时的动能

此时的速率为：

（3）小球在最低位置时，由于力和加速度的方向在一条直线上则

3-17最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为4.00N·

s，在同一时间间隔内，该力所做的功为2.00J，问该质点的质量为多少？

考虑到质点的初动量和动能为0，由动量定律可得

由动能定律可得：

由

（1）

（2）两式可得质点的质量为

3-18设两个粒子之间的相互作用是排斥力，并随它们之间的距离r按的规律变化，其中k为常数。

试求两粒子相距为r时的势能。

（设力为零的地方势能为零）

由可知，当时，

设想一个粒子静止不动，并以其位置为坐标原点。

将另一个粒子从无穷远处移到r处，排斥力所做的负功的绝对值即为势能的增量，亦即：

而

因为所以两粒子相距r时的势能为：

3-19如果一物体从高为处静止下落。

试以

（1）时间t为自变量；

（2）h为自变量，画出它的动能和势能图线，并证明两曲线中动能和势能之和相等。

（1）由自由落体运动规律得：

由上面两式可画出动能和势能曲线如下图3-19（a）所示。

（2）任意时刻动能和势能总和为：

于是可画出动能和势能关于h的曲线图如图3-19（b）所示，从图可直接看出动能和势能之和保持不变。

3-20一质量为m的质点，系在绳子的一端，绳子的另一端固定在平面上。

此质点粗糙的水平面上作半径为r的圆周运动。

设质点的最初速度为。

当它运动一周时，其速率为。

求

（1）摩擦力做功；

（2）动摩擦因数；

（3）在静止以前质点运动了多少圈？

（1）物体做圆周运动。

水平方向上受到两个力的作用。

即拉力和摩擦力，拉力的方向始终与运动方向垂直，不做功，由功能原理：

及得摩擦力做功为：

（2）

由

（1）

（2）两式可得动摩擦系数为：

（3）设质点运动N圈后静止

由动能定理可得：

代入可得运动的圈数为：

圈。

3-21如习题3-21图所示，，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为和。

问在A板上需要加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。

（设弹簧的劲度系数为k）

取弹簧压缩到最低点时为重力势能和弹性势能的零点，且又弹簧自由伸长时的高度为坐标原点，竖直方向为y轴的正向。

点放A物体的平衡位置，再加F后下降，放手后，弹簧弹起超过原长点O的高度为y，故m2被提起所用的弹力f2要大于m2g。

设压缩最低点为重力势能零点，由机械能守恒定律有：

①

由牛顿第二定律得：

②

由弹力公式可得：

③

放手后，m2受到向上的弹力④

由①②③④式可得：

，由题意可知恰恰能被提起，即：

。

3-22如习题3-22图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为，从与水平成斜面上的A点静止下滑。

设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离时，与缓冲弹簧一道沿着斜面运动。

当矿车使弹簧产生最大的压缩形变时，矿