七年级上一元一次方程培优讲义精品Word文档格式.docx
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学
内
容
一元一次方程复习提高
要点一:
方程及一元一次方程的相关概念
方程的概念:
含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程的概念:
方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。
其中“元”是指未知数,“一元”是指一个未知数;
“次”是指含有未知数的项的最高次数,“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。
等式、方程、一元一次方程的区别和联系:
区别
举例
联系
等式
用等号连接的式子。
3+2=5,x+1=0
都是用等号连接的式子
方程
含有未知数的等式。
X+1=0,x+y=2
一元一次方程
方程两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。
X+1=0,
y+1=
y
方程的解的概念:
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
(1)解方程的概念:
求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
(2)判断一个未知数的值是不是方程的解:
将未知数的值代入方程,看左右两边的值是否相等,能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程的解。
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
(1)去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
(2)去括号
去掉括号,括号内的每项符号都要同时变或不变
(3)移项
移项要变号
(4)合并同类项
只要把系数合并,字母和它的指数不变。
(5)方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0。
若为0,则方程可能无解或有无穷多解。
重点题型总结及应用
知识点一:
一元一次方程的概念
例1、已知下列各式:
①2x-5=1;
②8-7=1;
③x+y;
④
x-y=x2;
⑤3x+y=6;
⑥5x+3y+4z=0;
⑦
=8;
⑧x=0。
其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8
举一反三:
【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程:
(1)-2x2+3=x
(2)3x-1=2y(3)x+
=2(4)2x2-1=1-2(2x-x2)
【变式2】若关于
的方程
是一个一元一次方程,则
_______.
【变式3】若关于
是一元一次方程,则
_______
【变式4】若关于
【变式5】若关于
是一元一次方程,
则
【变式6】已知:
(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0是关于x的一元一次方程,
则a=_______.
知识点二:
方程的解
题型一:
已知方程的解,求未知常数
例2、当
取何值时,关于
的解为
?
已知
.
(1)当
时,求
的值;
(2)当
的值.
题型二:
已知一方程的解,求另一方程的解
例3、已知
是关于
的解,解关于
的方程:
.
题型三:
同解问题
例4、方程
与
的解相同,求
的值.
【变式1】已知方程
与方程
的解相同.
(1)求
(2)求代数式
【变式2】已知方程
的解相同,求k的值.
【变式3】方程
的解与关于x的方程
的解互为倒数,
求k的值。
题型四:
已知方程解的情况,求未知常数的取值范围
例5、要使方程ax=a的解为1,则()
A.a可取任何有理数B.a>0C.a<0D.a≠0
例6、关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为()
A.2B.3C.1或2D.2或3
已知方程2ax=(a+1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.
知识点三:
等式的性质(方程变形——解方程的重要依据)
注:
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为,
如方程:
-
=1.6,将其化为:
-=1.6。
方程的右边没有变化,
这要与“去分母”区别开。
例7、下列等式变形正确的是()
A.若
则
B.若
C.若
D.若
1、若
下列变形不一定正确的是()
A.
B.
C.
D.
2、下列等式变形错误的是()
A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得6a=6bC.由x+2=y+2得x=yD.由x÷
3=3÷
y得x=y
3、运用等式性质进行的变形,正确的是()
A.如果a=b那么a+c=b-c;
B.如果6+a=b-6那么a=b;
C.如果a=b那么a×
3=b÷
3;
D.如果a2=3a那么a=3
4、下列等式变形错误的是()
A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得
C.由x+2=y+2得x=yD.由-3x=-3y得x=-y
5、运用等式性质进行的变形,正确的是()
A.如果a=b,那么a+c=b-c;
B.如果
那么a=b;
C.如果a=b,那么
;
D.如果a2=3a,那么a=3
6、如果ma=mb,那么下列等式中不一定成立的是( )
A.ma+1=mb+1B.ma—3=mb—3C.a=bD.
7、运用等式性质进行的变形,正确的是()。
D.如果
那么a=3
知识点四:
解一元一次方程的一般步骤:
例8、(用常规方法)解方程:
(非常规方法解方程)
(一)巧凑整数解方程
例9、解方程:
思路点拨:
仔细观察发现,含未知数的项的系数和为,
常数项和为,故直接移项凑成比先去分母简单。
【变式】解方程:
=2x-5
(二)巧用观察法解方程
例10、解方程:
(三)巧去括号法解方程
含多层括号的一元一次方程,要根据方程中各系数的特点,选择适当的去括号的方法,以避免繁杂的计算过程。
例11、解方程:
因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系,所以从向去括号可以使计算简单。
(四)运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆项后
再合并,有时可以使运算简便。
例12、解方程:
注意到_____________________,这样逆用分数加减法法则,可使计算简便。
(五)巧去分母解方程
当方程的分母含有小数,而小数之间又没有特殊的倍数关系时,若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时,利用分数的基
本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例13、解方程:
=1
(六)巧组合解方程
例14、解方程:
按常规解法将方程两边同乘化去分母,但运算较复杂,注意到左边
的第一项和右边的第项中的分母有公约数,左边的第项和右
边的第一项的分母有公约数,移项局部通分化简,可简化解题过程。
(七)巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个
一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则_________________________。
例15、解方程:
|x-2|-3=0
解法一:
解法二:
【变式1】5|x|-16=3|x|-4
【变式2】
解一元一次方程常用的技巧有:
(1)有多重括号,去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时,常由外向内先去括号,再去分母。
(3)当分母中含有小数时,可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想,即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
知识点五:
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用
方程有唯一解
例16、若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.
方程有无数解
例17、关于x的方程3x-4=a-bx有无穷多个解,则a.b的值应是()
A.a=4,b=-3B.a=-4,b=-3C.a=4,b=3D.a.b可取任意数
方程无解
例18、已知关于x的方程
无解,则a的值是()
A.1B.-1C.±
1D.不等于1的数
1、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.
2、若关于x的方程︳2x-1︳+m=0无解,则m=____________.
3.
(1)关于x的方程4k(x+2)-1=2x无解,求k的值;
(2)关于x的方程kx-k=2x-5的解为正数,求k的取值范围.
4、已知关于x的方程a(2x-1)=4x+3b,当a、b为何值时:
(1)方程有唯一解?
(2)方程有无数解?
(3)方程没有解?
总结升华:
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况
(1)a≠0时,方程有唯一解x=
;
(2)a=0,b=0时,方程有无数个解;
(3)a=0,b≠0时,方程无解。