考研数学一真题与答案文档格式.docx
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【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
(3)在下列微分方程中,以为通解的是
(C)(D)
【答案】D。
由通解表达式
可知其特征根为
可见其对应特征方程为
故对应微分方程为
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是
(A)若收敛,则收敛
(B)若单调,则收敛
(C)若收敛,则收敛
(D)若单调,则收敛
【方法一】
由于单调,单调有界,则数列单调有界,根据单调有界准则知数列收敛。
【方法二】
排除法:
若取,,则显然单调,收敛,但,显然不收敛,排除A。
若取,显然收敛且单调,但不收敛,排除C和D。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,极限存在的两个准则:
单调有界准则和夹逼准则
(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵,若,则
(A)不可逆,不可逆
(B)不可逆,可逆
(C)可逆,可逆
(D)可逆,不可逆
【答案】C。
因为
所以可知可逆,可逆
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充分必要条件
(6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如右图所示,
则的正特征值的个数为
(A)(B)1
所给图形为双叶双曲线,标准方程为
二次型正交变换化为标准形时,其平方项的系数就是的特征值,可知的正特征值的个数为1
【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形
(7)设随机变量独立同分布,且的分布函数为,则的分布函数为
(A)(B)
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性,两个及两个以上随机变量简单函数的分布
(8)设随机变量,且相关系数,则
由相关系数的性质可知:
如果则必有
可得
已知,所以,得
又
而
即
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质
二、填空题(914小题,每小题4分,共24分。
(9)微分方程满足条件的解是。
【答案】。
分离变量得,l两边积分有
利用条件,,解得
综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程
(10)曲线在点处的切线方程是。
【答案】
先求曲线在点处的斜率
等式两端对求导得
在上式中,将代入可得
所以曲线在该点处的切线方程为即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义
(11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为。
由题设可知,幂级数在处收敛,在处发散,即时,幂级数收敛。
对于幂级数,则收敛区间为
又幂级数在处收敛,在处发散,
所以对于幂级数收敛域为。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域
(12)设曲面是的上侧,则。
补曲面,取下侧,记
则
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用,两类曲面积分的概念、性质及计算
(13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,,则的非零特征值为。
【答案】1。
定义法:
由
可得矩阵的特征值为,因此的非零特征值为。
矩阵相似:
可知,的特征值易得为,所以可得矩阵的特征值为,因此的非零特征值为。
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质,相似变换、相似矩阵的概念及性质
(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则。
【解析】由已知,有,所以
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征
三、解答题:
小题,共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分9分)
求极限
(等价无穷小代换)
(洛必达法则)
()
(等价无穷小代换)
(变量代换)
(洛必达法则)
【方法三】
由泰勒公式,可得
则,上式
【方法四】
(拉格朗日中值定理)
【方法五】
由于当时,,则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理,洛必达(L'
Hospital)法则
(16)(本题满分9分)
计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段。
添加轴上从点到点的直线段,为与围成的封闭区域,则
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用,两类曲线积分的概念、性质及计算,格林(Green)公式
(17)(本题满分11分)
已知曲线求曲线距面最远和最近的点。
设为曲线上任意一点,则点到面的距离为,即原题化为求在条件下的最值点,构造拉格朗日函数
解方程组
得,从而
得可能极值点:
有
根据几何意义,曲线上存在距面最远和最近的点,故所求点依次为。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值
(18)(本题满分10分)
设函数连续,
(I)利用定义证明函数可导,且;
(II)当是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数。
(I)对于任意的,由于函数连续,所以
(积分中值定理)
其中介于和之间。
又,可知可导,且
(II)
对于任意的,有
所以,
从而有(常数)
则,,即也是以2为周期的周期函数。
故也是以2为周期的周期函数。
由于以2为周期,则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(19)(本题满分11分)
将函数展开成余弦级数,并求的和。
因为是偶函数,于是,对有
令,
故
【考点】高等数学—无穷级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数,函数在上的正弦级数和余弦级数
(20)(本题满分10分)
设为3维列向量,矩阵,其中分别是
的转置。
证明:
(I)秩;
(II)若线性相关,则秩。
(I)因为为3维列向量,所以都是3阶矩阵,
且秩
那么
(II)线性相关,则设
于是,
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(21)(本题满分12分)
设元线性方程组,其中
(I)证明行列式;
(II)当为何值时,该方程组有唯一解,并求;
(III)当为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解。
(I)数学归纳法:
记阶行列式的值为
当时,命题正确;
当时,,命题正确
设时,命题正确
当时,按第一列展开,则有
命题正确,所以。
(II)由克拉默法则,方程组有唯一解,故时方程组有唯一解,且用克拉默法则,有
(III)当时,方程组为
由,方程组有无穷多解,其通解为,其中为任意常数。
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量相互独立,的概率密度为,的概率为
记。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求概率密度。
(Ⅰ)
(Ⅱ)
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量函数的分布
(23)(本题满分11分)
设为来自的简单随机样本,记
(Ⅰ)证明是的无偏估计量;
(Ⅱ)当时,求。
(Ⅰ)因为
所以是的无偏估计量。
(Ⅱ)当时,,,,从而,D[
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—统计量的数字特征