导数的基本概念及性质应用Word格式.doc

导数的基本概念及性质应用Word格式.doc

《导数的基本概念及性质应用Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的基本概念及性质应用Word格式.doc（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（２）导数的四则运算

（３）复合函数的导数

设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，

导数性质：

1、函数的单调性

⑴设函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为增函数；

若＜0则为减函数。

⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。

①确定函数的定义区间

②求，令＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。

③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间。

④确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性。

原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关

2．可导函数的极值

⑴极值的概念

设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有＜（或＞），则称为函数的一个极大（小）值点。

称为极大（小）值点。

⑵求可导函数极值的步骤。

①求导数

②求方程＝0的根

③检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得极大值；

如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得极小值。

极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个＝0的方程

3．函数的最大值与最小值

⑴设y＝是定义在区间[a,b]上的函数，y＝在（a,b）内有导数，求函数y＝在[a,b]上的最大值与最小值，可分两步进行。

①求y＝在（a,b）内的极值。

②将y＝在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

⑵若函数y＝在[a,b]上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；

若函数y＝在[a,b]上单调减少，则为函数的最大值，为函数的最小值。

极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值

二、例题讲解

题型一导数的概念

【例1】设f（x）在点x0处可导，a为常数，则等于（）

A.f/（x0）B.2af/（x0）C.af/（x0）D.0

【变式】设在处可导

题型二导数的几何意义、物理意义

【例2】

（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；

（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。

　分析：

根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f（x）在处的导数就是曲线y=f（x）在点处的切线的斜率。

瞬时速度是位移函数S（t）对时间的导数。

题型三利用导数求单调区间

【例3】求下列函数单调区间

（1）

（2）

（3）

（4）

题型四：

利用导数求函数的最（极）值

【例4】求函数在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值

题型五：

原函数图像与导函数图像

【例5】1、设f'

（x）是函数f（x）的导函数，y=f'

（x）的图象

如右图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是

（A）（B）（C）（D）

2、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

题型六：

利用极值的本质及单调性求解析式

【例6】已知函数在处取得极值。

（I）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（II）过点作曲线的切线，求此切线方程。

【例7】已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求：

（1）的值；

（2）a、b、c的值.

【例8】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=－1时，取得极大值7；

当x=3时，取得极小值．求这个极小值及a、b、c的值

【例9】已知的图象经过点，且在处的切线方程是

（1）求的解析式；

（2）求的单调递增区间

题型七：

含参数的讨论

【例10】

（1）如果函数f（x）=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是

（）

A.（0,+¥

）B.[0,+¥

）C.（3,+¥

）D.[3,+¥

）

（2）如果函数f（x）=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是________________

【例11】已知函数在区间上都是增函数，在（0，4）上是减函数.

（1）求b的值；

（2）求a的取值范围

题型八：

综合应用

【例12】平面向量，若存在不同时为的实数和，使

且，试确定函数的单调区间

例题答案：

【例1】解：

故选（C）

【变式】：

-1

（1），

　　，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0

　　因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1

（2）

　　。

【例3】

（1）时

∴，

（2）∴，

（3）

∴

∴，，

（4）定义域为

【例4】略，注意强调学生的步骤完整性

【例5】1、C2、A

【例6】分析：

（1）分析x=±

1处的极值情况，关键是分析x=±

1左右（x）的符号.

（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.

解：

（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，

（1）=（－1）=0，即

解得a=1，b=0.

∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.

令（x）=0，得x=－1，x=1.

若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，

故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.

若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.

所以f（－1）=2是极大值，f

（1）=－2是极小值.

（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.

∵（x0）=3x02－3，

∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.

代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.

解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.

评述：

过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键

【例7】解：

函数的增减变化如下表：

x

1

2

+

-

极大

极小

（1）在x=1处由增变减，故为极大值，即=1.

（2）由于，

【例8】解：

f′（x）=3x2+2ax+b．据题意，－1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得

∴a=－3，b=－9

∴f（x）=x3－3x2－9x+c

∵f（－1）=7，∴c=2

极小值f（3）=33－3×

32－9×

3+2=－25

∴极小值为－25，a=－3，b=－9，c=2

【例9】解：

（1）的图象经过点，则，

切点为，则的图象经过点

得

单调递增区间为

（1）A

（2）（-¥

，0］

【例11】解：

⑴由条件知是函数的极值点.

∵，令，得.

⑵已求，∴.令，得.由条件知

为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.

∴，，得

【例12】解：

由得

所以增区间为；

减区间为。

三、课堂演练：

1.若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x－y－1=0，则

A．f′（x0）>

0 B．f′（x0）<

0C．f′（x0）=0 D．f′（x0）不存在

2.函数在区间上的最大值是（　　）

A． B． C． D．

3．函数y=x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为

A．0 B．1C．2 D．4　

4.已知函数在时取得极值，则实数的值是（　　）

5.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）

A． B． C． D．

6.三次函数y=f（x）=ax3+x在x∈（－∞，+∞）内是增函数，则

A．a>

0 B．a<

0C．a=1 D．a=

7.与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是___________．

8.已知a为实数，。

⑴求导数；

⑵若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；

⑶若在（－∞，－2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围

1-6AAADAA，7.3x+y+2=0

8.解：

⑴由原式得∴

⑵由得,此时有.

由得或x=-1,

又

所以f（x）在[－2,2]上的最大值为最小值为

⑶解法一:

的图象为开口向上且过点（0,－4）的抛物线,由条件

得

即∴－2≤a≤2.

所以a的取值范围为[－2,2].

解法二:

令即由求根公式得:

所以在和上非负.

由题意可知,当x≤-2或x≥2时,≥0,

从而x1≥-2,x2≤2,

即解不等式组得－2≤a≤2.

∴a的取值范围是[－2,2].

四、课堂小结：

导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：

单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。

五、课下作业：

1、函数的递增区间是（）

A．B．

C．D．

2、,若,则的值等于（）

A． B．C．D．

3、函数在区间