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基于数学模型的健康评分模型
摘要
本文以健康标准为研究对象，对相关专家进行问卷调查得到了所需数据。
在此前提下，我们利用所得数据对身体健康的10项指标进行了评判，分析并确定了其对不同年龄段人群健康评分的不同程度影响，从而建立了各阶段的健康评分模型。
然后我们根据此模型为各年龄段的人制定了合理的健康计划表。
最后通过为我们小组成员及家人做健康测试证明了我们所建的健康评分模型的合理性和可行性。
针对问题一
首先我们从题目得到一个合理的评估指标体系（世界卫生组织给出的10个健康标
准），然后我们针对健康专家们做了一些问卷调查，得到了我们所需的数据。
然后我们再通过专家排序法我们初步确定了10项指标的粗略权重，最后通过对数加权、矩阵整定的三步法最终得出不同年龄段的10项指标的权重。
接着，我们为这10项指标建立详细的评分细则，以便各个指标评分。
利用我们建立的健康评分模型，可以得出身体状态的加权总分。
从而由加权总分，得到自身的健康状态。
针对问题二
由于这10项指标有灰色关联度，我们利用层次分析法将它们分为心理健康和躯体健康两部分。
然后由问题一中我们建立的模型，不同年龄段人群的各个健康标准的权重不同，我们从锻炼、饮食、生活作息等方面分别给每个年龄段设计了合理的健康计划表。
针对问题三
首先我们将由问题一得出的健康评分模型转化为了一个浅显易懂的问卷调查表，然
后分发给我们小组成员及其家人进行填写。
通过对回收的调查表的分析，我们最终得出我们的健康模型是切实有效的，健康计划是切实可行的。
关键字：
健康评分模型权重分配问卷调查三步法专家排序法层次分析法
一、问题重述
由于现代社会的生活节奏加快、生活工作压力增大，拥有一个健康的身体显得尤为重要。
但是评判健康的标准有很多，我们该利用哪些标准来评判身体是否健康，又该怎样评判呢？
世界卫生组织给出了如下10个健康标准：
（1）精力充沛，能从容不迫地应付日常生活和工作的压力而不感到过分紧张和疲劳。
（2）处事乐观，态度积极，乐于承担责任，事无巨细不挑剔，工作有效率。
（3）善于休息，睡眠良好。
（4）应变能力强，能适应环境的各种变化。
（5）具有抗病能力，能够抵抗一般性感冒和传染病。
（6）体重得当，身材均匀，站立时头、肩、臂位置协调。
（7）眼睛明亮，反应敏锐，眼睑不发炎。
（8）牙齿清洁，无空洞，无龋齿，无痛感；
齿龈颜色正常，不出血。
（9）头发有光泽，无头屑。
（10）肌肉、皮肤富有弹性，走路轻松有力。
而且，健康标准对不同年龄、不同性别的人有不同的要求。
因此，如何量化这些标准来评价一个人的健康状况是一个比较困难的问题。
因此我们利用自己的数学知识建立了相关的数学模型试图解决如下三个问题：
1、根据划分的不同年龄段，建立相应的健康评分模型；
2、根据模型，给每个年龄阶段制定一个合理的计划表；
3、根据模型，为我们组的成员及家人的健康进行评分，并结合实际情况说明健康计划表是否合适和可行。
二、问题分析
问题一
评判健康的指标有10项，不可否认的，10项都非常好的人最健康，但是现实生活的很难找到这样的人。
因此，我们想到需要首先评判出哪些才是影响健康的主要因素，哪些是次要因素，即我们需要首先确定出这10项指标对于评价健康所占的权重。
然后
在各个指标取到不同的值时进行计算，最终得到总的健康分数。
问题二
我们首先将10个指标进行了划分，把它们划分为几个大类，方便看出不同年龄的人的哪个方面有区别，再有针对性的规划生活，让不同年龄的人变得更健康。
问题三
模型已经建好了，我们将设计好的调查问卷交给家人填写，然后只需要将家人在这十个指标下给出合乎实际的分数，那么根据我们的模型就能计算出他们的最终健康分数，得到他们处于健康的哪个阶段。
反过来最后用实际的家人身体情况来验证得出的结论。
三、模型假设
为保证我们的模型在各种潜在约束条件下有效，我们在细化方法之前做了一系列假设如下：
1.假设所有被调查者都是认真完成调查问卷，其结果是具有参考性的。
2.假设所有健康专家都是非常专业的，所做的排序都是合理的。
3.假设所有健康专家的专业水准几乎是同等水平的。
4.假设最后我们给出的家人在十个指标下的健康分数是符合实情的
5.假设青年、中年每天跑步一小时即可满足锻炼需求。
四、符号约定
符号
说明
u1〜u10
健康标准
（1）-（10）
A、B、C、DE
青年到长寿者的指标权重向量
Us
判断矩阵
a1~a10
各指标的权重
丸max
最大特征值
P1〜P10
各指标的评分
人员S健康状态的加权总分
五、模型建立与求解
设已知世界卫生组织给出的健康标准集合为：
U=7u1,u2,,u10f
为进行模糊综合评估，必须根据被评对象的具体情况，在论域u上构造一个切合实际需要的评估指标模糊子集：
ai.a2…aio
Auiuio简记为A二[a1,*2,,a10]
其中，a1,a2厂,a1o分别是各指标的权重。
5.1三步法确定权重111
为了使得出的权重分配更加切合实际，我们分三步进行。
5.1.1问卷调查统计
对比排序对为数不多的专家进行问卷调查，请他们每个人根据自己的判断，按n记分制的形式给出各指标相对重要性的次序，即认为最重要者打n分,次之打n-1分,再次打n-2分,……最不重要者打1分。
这样做的目的是：
请被调查者直接给出各指标的权重比较困难，但请他们排序却是比较容易的。
最终由回收的调查表得出青年指标排序结果（见
表1）O
指标
对比排序结果
专家1
专家2
专家3
专家4
专家5
专家6
专家7
专家8
专家9
专家10
U1
1
8
2
7
9
3
U2
4
U3
5
U4
10
U5
r1
6
U6
U7
U8
P7
U9
U10
表1
5.1.2对数据加权平均
在5.1.1中,每位调查者仅仅是根据自己的认识，将各指标按其重要程度做了等间距的排序工作。
因为实际上每个人在做评估时，总是以他认为最重要的n指标来考察问题，而他认为不太重要或很不重要的指标总是较少重视或基本上不予重视。
为刻画人们在思
维过程中的这一现象，必须将人们认为最重要的指标赋予最大乃较大的权重，而对那些
不太重要及很不重要的指标赋予较小的权重或令其权重为0值。
再者,在考虑问题的过
程中,人们的脑海里，总是把他认为最重要及很重要的指标之间，提在很接近的位置，而
把那些不重要或很不重要的提在较远及极远的位置上，这反映了指标不仅其权重值有差别,而且间隔也不同，是前密后稀的。
所以，不能仅仅以此作为权重来处理。
为反映人们思维过程的这些特点，根据对数的性质，我们采用了对数加权的办法。
对数加权的办法以综合众人的意见体现了考虑数人的意见，又要尊重个别人的见解。
考虑到每位专家的专业水平相差无几，我们把每位专家的权重均看做0.1。
利用加权平均的公式：
一X1f1X2f2亠亠Xnfn
（1）
X=n
初步算出了各指标的权重（见表2）。
权重
0.48:
0.44
0.27
0.80:
0.35
0.55
0.63「
0.65
0.74
0.59
合计
5.5
5.1.3判断矩阵整定
由5.1.2得到的权重分权，只是综合了少数专家的意见，未必切合实际，因而需要进行检验和修正，以期使它切合或十分接近实际情况。
为此我们应用一种定性分析与定量分析结合的新办法来决定评估指标的权重分配。
设有n个指标Ui,U2,…，Un并且假设
已知它们各自的权重为ai,a2厂，an我们用每个指标的权重对全体指标的权重之比为行，构造一个nxn的矩阵Us。
Us称为判断矩阵，它有这样的性质：
用向量A二〔ai,a2,a3,...,aio,右乘矩阵u$,其结果为：
TT
UsA=nA⑵
根据矩阵理论我们知道，n即为矩阵Us唯一非零的，且是最大的特征值’max,A则为其所对应的特征向量。
由
（2）式，我们先逐对比较这组指标的相对重要程度（权重）,从而得出对每对指标重要性（权重）比权判断的结果，再按给定的标度表（见表3）定量化,从而形成判断矩阵，然后求判断矩阵的最大特征值■max。
若其值恰为指标个数10的话，那么这个最大特征值所对应的特征问题，就是这组指标的权重；
若最大特征值^ax在数值上不等于n,则需对
US阵中某些指标权重比较判断的结果按标度进行修改,直到使'
max=n时为止。
这个过程,
就是以n为最大特征值的目标值，通过整定（调节）判断矩阵参数来修改最大特征，从而也就是调整特征问题，也即校正这组指标权重估计值与实际值之间的偏差。
继续这个过程直到'
max=n时,则表示人们对这组指标权重的估计与实际情况相符了，所以本文称此过
程为判断矩阵整定过程，当然也可称为一致性检验过程。
判断的相容性与误差分析：
人们不可能精确地判断出ai/aj的数值，只能对它进行估计。
如果将Us阵估计为us,则必然导致特征值与特征向量存在偏差，此时Us，称
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