基于四边形网格的四阶几何偏微分方程细分曲面的构造Word文件下载.docx

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4.3.1空间方向离散化16

4.3.2时间方向离散化17

第五章程序与算例18

5.1SDF和QSDF的效果比较18

5.2曲面拼接18

5.3N边补洞19

5.4程序21

第六章结论64

参考文献65

致谢66

信息与计算科学2006级贺宏伟

摘要：

曲面细分技术给我们提供了一种简单而高效的构造任意拓扑结构同时又具有一定阶数光滑性曲面的方法。

计算几何中的几何偏微分方程方法是一项构造高质量曲面的强大技术。

此文中，我们将这两种不同的方法结合起来，在一个统一的框架下，构造边界处连续的几何偏微分方程细分曲面.所考虑的两个四阶几何偏微分方程为曲面扩散流（surfacediffusionflow）和拟曲面扩散流（quasisurfacediffusionflow），方程采用混合有限元方法来求解.我们成功设计了基于四边形网格的四阶几何偏微分方程细分曲面的混合有限元方法

关键词：

曲面扩散流；

拟曲面扩散流；

四边形细分曲面.

Surfaceconstructionsbasedonforth-ordergeometricpartialdifferentialequationsofsubdivisionsurfacewithquadrilateralmeshes

HongweiHe,Grade2006,InformationandComputingScience

Abstract:

Thesurfacesubdivisiontechnologyprovidesusasimpleandefficientmethodofconstructingsurfaceswitharbitrarytopologyandcertainsmoothness.Themethodofgeometricpartialdifferentialequationsincomputationalgeometryisapowerfultechnologyofconstructinghigh-qualitysurfaces.Inthispaper,wecombinethesedifferentmethods,andconstructthegeometricpartialdifferentialequationsubdivisionsurfaceswithcontinuityontheboundariesinaunifiedframework.Thetwoforth-ordergeometricpartialdifferentialequationsconsideredaresurfacediffusionflowandquasisurfacediffusionflow.Wesuccessivelydesignthemixedfiniteelementmethodofsubdivisionsurfacesbasedonthequadrilateralforth-ordergeometricpartialdifferentialequations.

KeyWords:

surfacediffusionflow；

quasisurfacediffusionflow；

Quadrilateralsubdivisionsurface

第一章序言

曲面设计是计算机辅助设计和计算机图形学的一项重要任务，主要研究在计算机图形系统的环境下对曲面进行表示，设计和分析等。

曲面设计起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons（1912-1979）、Bezier（1910-1999）等于20世纪60年代奠定理论基础，经过上世纪70年代的B样条技术，80年代有理B样条技术以及80年代中后期的非均匀有理B样条（NURBS：

Non-UniformRationalB-Spline）技术等的发展，现已形成了以NURBS参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值、拟合和逼近这三种手段为骨架的理论体系。

特别是NURBS因其可以使用统一的数学形式表示规则曲线曲面和自由曲线曲面、易于对曲线曲面形状进行控制和实现以及继承性和可发展性等优点而成为国际标准化组织（ISO）于1991年颁布的关于工业产品几何定义的STEP（StandardforTheExchangeofProductmodeldata）,将NURBS方法作为定义产品形状的唯一数学描述。

关于这方面的工作国内外有大量的专著出现。

使用几何偏微分方程解决几何设计中的问题，已有很多成功例子。

早期，人们将平均曲率流用于磨光有噪声的曲面，取得了很理想的效果。

但是曲面造型和设计问题，梯度矢量流，平均曲率流和高斯曲率流等二阶流都不能实现各个曲面片的光滑连接。

后来，四阶几何流被应用于解决曲面拼接问题，自由曲面设计问题，曲面修复问题以及曲面网络的除燥问题，取得了理想的效果。

在四阶几何流中，曲面扩散流的研究比较多，该流是在1957年由Mullins引入用于描述物理学中晶体生长时界面的运动规律，但将此流看成是面积泛函的梯度流却发生在几十年后了。

关于Willmore流也有许多研究，虽然Willmore泛函在1923年就被Thomsen提出，但此泛函却与Willmore的名字紧密结合了。

该流的理论性工作比较多。

第二章预备知识

2.1曲面的基本理论

定义2.1.1：

从平面区域到的映射

满足

（1）每个分量函数都是无限阶连续可微的（充分光滑的），

（2）向量与向量线性无关，即，则称是的一个曲面（片），称为曲面的（坐标）参数。

在本文中，我们用R表示实数域，表示实的n维欧几里德空间，其中的元素=以列向量的形式表示，用表示实的m×

n的矩阵的全体。

我们用方括号[]表示矩阵或向量，用圆括号（）表示一个有序的数组，用花括号{}表示集合，我们始终把向量看成矩阵。

一个矩阵的转置用表示。

2.2参数曲面的微分几何

假设本文中考虑的参数曲面M:

={：

}，是充分光滑和正则可定的，其单位法向量是n=（）/||||,此处的下标指偏导数。

有时为简单起见，记=，将该参数曲面的第一基本形式I、第二基本形式II和第三基本形式III的系数分别记为

，,,,=1,2

还使用记号

=<

>

=1,2.

=,=,=.

为定义曲面的平均曲率和高斯曲率，我们首先引入形状算子或Weingarten映射的概念，曲面上的形状算子是一个定义在切平面：

={,}上的自共轭线性算子：

使得：

（）=,（）=，

我们可以用矩阵来表示线性映射，特别的，有

=（2.2.1）

成立。

的两个特征值称为曲面的两个主曲率，其相应的特征向量，称为主方向。

主曲率的算术平均和乘积分别为平均曲率（由法国数学家Germain命名）和高斯曲率。

即：

再分别称为平均曲率法向和高斯曲率法向。

2.3参数曲面微分算子定义

定义2.3.1（切梯度算子）：

假设是一个定义在曲面上的光滑算子，作用于上的切梯度算子为

.（2.3.1）

该公式可以显式的写成

由公式（2.3.1）可推出

（2.3.2）

定义2.3.2（切散度算子定义）：

假设是一个定义在曲面上的光滑向量场，作用到上的切散度算子为

.（2.3.3）

注意如果是一个法向量,则，因此称该算子为切散度算子。

定义2.3.3（LB算子定义）：

设，作用到上Laplace-Beltrami（LB）算子定义为

由（2.3.1）和（2.3.3）可推知

（2.3.4）

定义2.3.4（LB算子的格林公式I）:

设为一上的光滑三维向量场，具有紧支集，则

（2.3.5）

若进一步假定和具有连续性，则有

（2.3.6）

第三章细分知识

本章的有限元方法建立在曲面的细分方法之上，所以下面细分方面的相关工作，细分方法是一种递归的几何构造算法，它将一个给定的初始控制网格经反复加密而产生一系列的风格，它的极限通常是具有一定阶数光滑性的、与初始控制网格拓扑一致的曲面，称之为细分曲面。

1974年，Chaikin首次将离散细分的概念引入计算机图形学领域。

1978年Doo等人和Catmull等人分别给出了基于四边形网格的双二次和双三次张量积B样条曲面的细分规则，此后，Loop于1987年提出了一种基于四次样条的三角形曲面网格的逼近形的细分规则，而三角网格的插值型的细分格式（蝶型格式）则由Dyn等人给出。

此后细分曲面造型方针对不同的网格构造相应的细分规则；

研究已有的细分方法的快速算法；

研究细分曲面的光滑性问题等等

曲面细分方法在计算机辅助几何设计学科是一个非常活跃的领域，一方面由于激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的大力发展，可以轻而易举地在计算机上产生物体的初始网格，另一方面，更为重要的是因为图形工业对任意拓扑结构曲面造型需求日益迫切，传统的B样条方法已无法满足这一要求，而细分却能提供一种简单高效的算法来表征任意拓扑结构的自由曲面。

细分曲面由于具有诸多优点，已被应用于解决许多曲面建模剖，比如曲面磨光、曲面拼接和N-边洞填充等等，并取得了很好的效果。

但是细分方法也存在着一些缺陷：

细分格式产生的极限曲面通常没胡明显的表达形式，这使得曲面的切向、法向、曲率的计算变得非常困难；

随着网格的不断加密，计算量变得越来越大。

这些都促使人们开始寻找其他适用于曲面造型的方法。

Loop细分曲面已被广泛采用，如在曲面造型，散乱数据曲面重构等领域。

在这里简单描述Catmull-Clark细分规则及其Catmull-Clark细分曲面的精确计算。

细分格式是一种固定、局部的线性算法,由初始网格通过该算法产生一系列逐步加密的网格,由网格上的顶点来生成后续网格上的顶点。

Catmull-Clark细分格式采用一种权系数组合的顶点生成算法，这使得它成为一种局部和线性的格式,又因为在每步加密过程时所使用的是同样的仿射组合,所以该细分格式又是固定的。

初始网格和后续网格仅仅由四边形网格所组成。

系列网格通过该算法加密最终将收敛到一张由无限多个曲面片所组成的极限曲面。

在Catmull-Clark细分加密步骤中，每一个四边形被分成四个次四边形。

后一步网格上的顶点通过对前一步网格顶点的加权平均来获得。

具体有三套细分规则：

（1）.顶点加密规则（如图（A），其中表示该顶点的度（valence）；

（2）.面加密规则（如图（B））；

（3）.边加密规则（如图（C））。

（A）

（B）

（C）

Catmull-Clark细分的极限曲面是由分片四边形曲面片组成,网格上每一个四边形都对应着极限曲面上的一个子片。

初始网格的每个四边形的极限曲面片需要一个局部参数化，我们用作为的局部坐标系，定义单元四边形（如图（E）所示）为那么四边形的极限曲面片可被定义为如果该四边形的四个顶点都是规则顶点（即点的度均为4）,那么它所对应的曲面片也是规则的。

一个规则的四边形曲面片可定义为

其中，16个控制顶点为该四边形周围一圈的控制顶点，排列方式如图（D）所示，