概率论与数理统计习题详解Word文档下载推荐.docx
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(2)求
(3)求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.
(1)因为
由,得9a=1,故a=1/9.
(2)
(3)
设二维随机向量的概率密度函数为:
(1)求分布函数;
当,
其他情形,由于=0,显然有=0。
综合起来,有
向一个无限平面靶射击,设命中点的概率密度函数为
求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a的概率.
设二维随机向量的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.
5
因为
所以,X的边缘分布为
X
P
所以,Y的边缘分布为
Y
设二维随机向量的概率密度函数为
求边缘概率密度.
因为,当时,;
其他情形,显然所以,X的边缘分布密度为
又因为,当时,
其他情形,显然所以,Y的边缘分布密度为
解,积分区域显然为三角形区域,当时,,因此;
同理,当时,因此
(1)确定常数c的值.
(2)求边缘概率密度.
(1)因为
所以c=6.
(2)因为,当时,
所以,X的边缘分布密度为
所以,Y的边缘分布密度为
求习题中的条件概率分布.
由知,X、Y的边缘分布分别是
(1)当X=1时,Y的条件分布为
即
1/5
1/3
7/15
(2)当X=3时,Y的条件分布为
18/25
2/25
(3)当Y=0时,X的条件分布为
即
3/4
1/4
(4)当Y=2时,X的条件分布为
(5)当Y=5时,X的条件分布为
设X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0<
x<
1)时,Y在区间(x,1)上
随机地取值,求Y的概率密度函数.
因为,
所以(X,Y)的联合密度为
于是
故Y的密度函数为
求条件概率密度以及.
因为,当时,
又当时,
所以,在Y=y的条件下X的条件概率密度为
在X=x的条件下Y的条件概率密度为
问习题中的X与Y是否相互独立?
解:
由知,X、Y的边缘分布分别是
,而,显然
从而X与Y不相互独立.
问取何值时,X与Y相互独立?
要X和Y相互独立,则
即,得
由,得
问习题和习题中的X与Y是否相互独立?
由习题,二维随机向量的概率密度函数为
X的边缘分布密度为,Y的边缘分布密度为
,显然有,X与Y相互独立.
由习题,维随机向量的概率密度函数为
X的边缘分布密度为,Y的边缘分布密度为
显然有,X与Y不独立.
设二维随机向量的概率密度函数为
问X与Y是否相互独立?
对于x>
0,y>
0,都有,所以,X与Y是相互独立的.
设二维随机向量的分布函数为
讨论的独立性.
由于
所以,X与Y是相互独立的。
设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间(0,1)上的均匀分布,求X+Y
的概率密度函数.
由于X与Y均服从区间(0,1)上的均匀分布,故X与Y的边缘密度函数分别为:
记,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,的概率密度函数可以写为
当时,若,则;
若或,被积函数为0,此时显然有.
当时,若,则,若或,被积函数为0,此时显然有;
的其他情形,显然有=0.综合起来,有
此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当时,积分区域要分成两个部分.
设X与Y是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为
求的概率密度函数.
记,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,
的概率密度函数可以写为,于是有
根据书中72页(3.7.1)式,的概率密度函数可以写为
当时,若,
则,
若或,被积函数为0,此时显然有;
当时,若,
的其他情形,显然有.综合起来,有
设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.
由于所以分布函数为
由于服从参数为的指数分布,所以分布函数为
与相互独立,故的分布函数为
对分布函数求导以后得的密度函数
设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.
由于,所以分布函数为
设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.
由于相互独立,根据P76公式(3.8.4),易知,于是的概率密度函数为:
其中,
对某种电子装置的输出测量了5次,得到观察值.设它们是相互独
立的随机变量,且有相同的概率密度函数,求的分布函数.
由题意,的分布函数为:
又由于,是相互独立的随机变量,根据书中77页(3.8.6)式,的分布函数为:
设电子元件的寿命X(单位:
小时)的概率密度函数为
今测试6个元件,并记录下它们各自的失效时间.求
(1)到800小时时没有一个元件失效的概率;
(2)到3000小时时所有元件都失效的概率.
电子元件的寿命X(单位:
小时)的分布函数为:
(1)一个元件使用到800小时时没有一个失效的概率为
=,由于6个元件显然彼此独立,因此,到800小时时没有一个元件失效的概率为
二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充:
(1)联合分布
离散型
如果二维随机向量的所有可能取值为至多可列个有序对,则称为离散型随机向量。
设=的所有可能取值为,且事件{=}的概率为pij,,称
为=的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:
Y
y1
y2
…
yj
x1
p11
p12
p1j
x2
p21
p22
p2j
xi
pi1
这里pij具有下面两个性质:
(1)pij≥0(i,j=1,2,…);
(2)
连续型
对于二维随机向量,如果存在非负函数,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<
x<
b,c<
y<
d}有
则称为连续型随机向量;
并称为=的分布密度或称为的联合分布密度。
分布密度具有下面两个性质:
(1)≥0;
(2)二维随机
变量的本质
(3)联合分布
函数
设为二维随机变量,对于任意实数,二元函数
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数具有以下的基本性质:
(1)
(2)分别对和是非减的,即
当时,有;
(3)分别对和是右连续的,即
(4)
(5)对于
.
(4)离散型与连续型的关系
(5)边缘分布
X的边缘分布为
;
Y的边缘分布为
。
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
(6)条件分布
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为
在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为
(7)独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
有零不独立
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断,充要条件:
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
=0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立,h,g为连续函数,则:
h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。
特例:
若X与Y独立,则:
h(X)和g(Y)独立。
例如:
3X+1和5Y-2独立。
(8)二维均匀分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)~U(D)。
例如图、图和图。
y
D1
O1x
图
O2x
d
c
Oabx
(9)二维正态分布
其中是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,
记为(X,Y)~N(
由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,
即X~N(
但是若X~N(,(X,Y)未必是二维正态分布。
(10)函数分布
Z=X+Y
根据定义计算:
对于连续型,fZ(z)=
两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。
n个相