最全的递推数列求通项公式方法Word下载.doc
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当时,,即,又,
,将以上n个式子相乘,得
类型3(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):
把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
已知数列中,,,求.
设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
(2006,重庆,文,14)
在数列中,若,则该数列的通项_______________
(key:
)
(2006.福建.理22.本小题满分14分)
已知数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列{bn}滿足证明:
数列{bn}是等差数列;
(Ⅲ)证明:
(I)解:
是以为首项,2为公比的等比数列
即
(II)证法一:
①
②
②-①,得
即
③-④,得
是等差数列
证法二:
同证法一,得
令得
设下面用数学归纳法证明
(1)当时,等式成立
(2)假设当时,那么
这就是说,当时,等式也成立
根据
(1)和
(2),可知对任何都成立
(III)证明:
递推式:
解法:
只需构造数列,消去带来的差异.
类型4(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,r均为常数)。
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再待定系数法解决。
已知数列中,,,求。
在两边乘以得:
令,则,解之得:
(2006,全国I,理22,本小题满分12分)
设数列的前项的和,
(Ⅰ)求首项与通项;
(Ⅱ)设,,证明:
(I)当时,;
当时,,即,利用(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,r均为常数)的方法,解之得:
(Ⅱ)将代入①得Sn=×
(4n-2n)-×
2n+1+=×
(2n+1-1)(2n+1-2)
=×
(2n+1-1)(2n-1)
Tn==×
=×
(-)
所以,=-)=×
(-)<
类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):
先把原递推公式转化为
其中s,t满足
解法二(特征根法):
对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);
当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。
解法一(待定系数——迭加法):
数列:
,,求数列的通项公式。
由,得
且。
则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是
把代入,得
把以上各式相加,得
,的特征方程是:
又由,于是
故
已知数列中,,,,求。
由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即
又,所以。
(2006,福建,文,22,本小题满分14分)
(I)证明:
数列是等比数列;
(II)求数列的通项公式;
(III)若数列满足证明是等差数列
是以为首项,2为公比的等比数列
(II)解:
由(I)得
(III)证明:
①
②
②-①,得
即 ③
④
④-③,得
即
是等差数列
类型6递推公式为与的关系式。
(或)
这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。
例:
已知数列前n项和.
(1)求与的关系;
(2)求通项公式.
(1)由得:
于是
所以.
(2)应用类型4((其中p,q均为常数,))的方法,上式两边同乘以得:
由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
(2006,陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>
0,∴an-an-1=5(n≥2)
当a1=3时,a3=13,a15=73a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3
(2005,江西,文,22.本小题满分14分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3求数列{an}的通项公式.
,两边同乘以,可得
令
…………
又,,
类型7
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。
设数列:
,求.
设,将代入递推式,得
…(1)则,又,故代入(1)得
说明:
(1)若为的二次式,则可设;
(2)本题也可由,()两式相减得转化为求之.
(2006,山东,文,22,本小题满分14分)
已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?
若存在,试求出若不存在,则说明理由
(I)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列
(II)由(I)知,
将以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使数列是等差数列
数列是等差数列的充要条件是、是常数
当且仅当,即时,数列为等差数列
解法二:
由(I)、(II)知,
当且仅当时,数列是等差数列
类型8
这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。
已知数列{}中,,求数列
由两边取对数得,
令,则,再利用待定系数法解得:
(2005,江西,理,21.本小题满分12分)
已知数列
(1)证明
(2)求数列的通项公式an.
用数学归纳法并结合函数的单调性证明:
(1)方法一用数学归纳法证明:
1°
当n=1时,
∴,命题正确.
2°
假设n=k时有
则
而
∴时命题正确.
由1°
、2°
知,对一切n∈N时有
方法二:
用数学归纳法证明:
1°
当n=1时,∴;
2°
假设n=k时有成立,
令,在[0,2]上单调递增,所以由假设
有:
也即当n=k+1时成立,所以对一切
(2)解法一:
所以
又bn=-1,所以
由(I)知,,两边取以2为底的对数,
令,则
或
(2006,山东,理,22,本小题满分14分)
已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1
(Ⅰ)由已知,
,两边取对数得
是公比为2的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
(*)
=
由(*)式得
(Ⅲ),,
,又,
,又,
类型9
这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
已知数列{an}满足:
,求数列{an}的通项公式。
取倒数:
是等差数列,
(2006,江西,理,22,本大题满分14分)
a1=,且an=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对于一切正整数n,不等式a1·
a2·
……an<
2·
n!
(1)将条件变为:
1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为
1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³
1)…………1°
(2)证:
据1°
得,a1·
…an=
为证a1·
只要证nÎ
N*时有>
…………2°
显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个nÎ
N*,有
³
1-()…………3°
用数学归纳法证明3°
式:
(i)n=1时,3°
式显然成立,
(ii)设n=k时,3°
式成立,
即³
1-()
则当n=k+1时,
〔1-()〕·
()
=1-()-+()
1-(+)即当n=k+1时,3°
式也成立
故对一切nÎ
N*,3°
式都成立
利用3°
得,
1-()=1-
=1->
故2°
式成立,从而结论成立
类型10
如果数列满足下列条件:
已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;
当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。
已知数列满足性质:
对于且求的通项公式.
数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第
(2)部分,则有
∴
已知数列满足:
对于都有
(1)若求
(2)若求(3)若求
(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?
作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第
(1)部分解答.
(1)∵对于都有
(2)∵
令,得.故数列从第5项开始都不存在,
当≤4,时,.
(3)∵∴
令则∴对于
(4)、显然当时,数列从第