高中数学 14 三角函数的图象与性质教案4 新人教版必修4Word格式文档下载.docx
《高中数学 14 三角函数的图象与性质教案4 新人教版必修4Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 14 三角函数的图象与性质教案4 新人教版必修4Word格式文档下载.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（1）基本函数的奇偶性 奇函数：
y＝sinx，y＝tanx；
偶函数：
y＝cosx.
（2）型三角函数的奇偶性
（ⅰ）g（x）＝（x∈R）
g（x）为偶函数
由此得
；
同理，
为奇函数
.
（ⅱ）
为偶函数；
为奇函数.
3、周期性
（1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为；
y＝tanx，y＝cotx的周期为.
（ⅱ）型三角函数的周期
的周期为；
的周期为.
（2）认知
（ⅰ）型函数的周期
（ⅱ）的周期
的周期为；
均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.
（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.
（3）特殊情形研究
（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；
（ⅱ）的最小正周期为；
（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为.
由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.
4、单调性
（1）基本三角函数的单调区间（族）
依从三角函数图象识证“三部曲”：
①选周期：
在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；
②写特解：
在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；
③获通解：
在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）
循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.
揭示：
上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.
（2）y＝型三角函数的单调区间
此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为
①换元、分解：
令u＝，将所给函数分解为内、外两层：
y＝f（u），u＝；
②套用公式：
根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用
（1）中公式写出关于u的不等式；
③还原、结论：
将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.
1、对称轴与对称中心
（1）基本三角函数图象的对称性
（ⅰ） 正弦曲线y＝sinx的对称轴为；
正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0）.
（ⅱ） 余弦曲线y＝cosx的对称轴为；
余弦曲线y＝cosx的对称中心
（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；
正切曲线y＝tanx无对称轴.
认知：
①两弦函数的共性：
x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；
（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.
②正切函数的个性：
（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.
（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）
（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象
x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；
（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.
（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.
2、基本变换
（1）对称变换
（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移
3、y＝的图象
（1）五点作图法
（2）对于A，T，，的认知与寻求：
①A：
图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；
2A：
图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.
②：
图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；
：
图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.
：
由T＝得出. ③：
解法一：
运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；
解法二：
逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.
四、经典例题
例1、求下列函数的值域：
（1）
（2） （3）
（4） （5） （6）
分析：
对于形如
（1）
（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；
（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；
对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；
（ⅱ）转化为分段函数来处理；
（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.
解：
（1）
∵
∴， 即所求函数的值域为.
（2）由
∴
∴ 注意到这里x∈R，，
∴
∴所求函数的值域为[－1，1].
（3）这里
令sinx＋cosx＝t 则有
且由
于是有
∵
∴
因此，所求函数的值域为.
（4）注意到这里y>
0，且∵∴即所求函数的值域为.
（5）注意到所给函数为偶函数，又当
∴此时
同理，当亦有. ∴所求函数的值域为.
（6）令
则易见f（x）为偶函数，且
∴是f（x）的一个正周期. ① 只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.
当x∈[0，]时，
又注意到，
∴x＝为f（x）图象的一条对称轴 ②
∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.
而在[0，]上，
递增.③亦递增④
∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.
∴ 即⑤
于是由①、②、⑤得所求函数的值域为.
点评：
解
（1）
（2）运用的是基本化归方法；
解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；
解（4）借助平方转化；
解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.
例2、求下列函数的周期：
（1）
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.
（1）
＝
＝
∴所求最小正周期.
（2）
＝ ＝＝
∴所求周期.
（3） ＝
＝
＝
.注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为.
（4） 注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<
0）的解区间重复出现的最小正周期为2. ∴所求函数的周期为2.
（5）
注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<
0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为. ∴所求函数的周期.
对于（5），令 则由知，是f（x）的一个正周期.①
又
∴不是f（x）的最小正周期.②
于是由①②知，f（x）的最小正周期为.
在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.
请大家研究
的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.
例3、已知函数的部分图象，
（1）求的值；
（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.
（1）令，则由题意得f（0）＝1
∵ ∴
注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法” 得：
由此解得 ∴所求，.
（2）由
（1）得 令，解得，
∴函数f（x）图象的对称轴方程为；
令解得，
∴函数f（x）图象的对称中心坐标为.
前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：
例4、
（1）函数的单调递增区间为 。
（2）若函数
上为单调函数，则a的最大值为 。
（3） 函数的图象的对称中心是 。
函数的图象中相邻两条对称轴的距离为 。
（4）把函数的图象向左平移m（m>
0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为 。
（5）对于函数
，给出四个论断：
①它的图象关于直线x＝对称；
②它的图象关于点（,0）对称；
③它的周期为；
④它在区间〔－，0〕上单调递增.
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是 。
（1）这里的递增区间的正号递减区间递增且
∴应填
（2）由f（x）递增得
易见，
由f（x）递减得
当k＝0时， 注意到而不会属于其它减区间， 故知这里a的最大值为.
（3）（ⅰ）令
∴所给函数图象的对称中心为（，0）；
①
解法一（直接寻求） 在①中令 则有②
又在②中令k＝0得， 令k＝1得 ∴所求距离为－
解法二（借助转化）：
注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为
T＝，故所求距离为.
（4）这里将这一函数图象向左平移m（m>
0）个单位，所得图象的函数解析式为 令
则由题设知f（x）为偶函数f（－x）＝f（x）
∴所求m的最小值为.
（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；
一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察
①、③②、④与②、③①、④这两种情形.
（ⅰ）考察①、③②、④
升级会员 