高中数学 14 三角函数的图象与性质教案4 新人教版必修4Word格式文档下载.docx
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(1)基本函数的奇偶性 奇函数:
y=sinx,y=tanx;
偶函数:
y=cosx.
(2)型三角函数的奇偶性
(ⅰ)g(x)=(x∈R)
g(x)为偶函数
由此得
;
同理,
为奇函数
.
(ⅱ)
为偶函数;
为奇函数.
3、周期性
(1)基本公式
(ⅰ)基本三角函数的周期 y=sinx,y=cosx的周期为;
y=tanx,y=cotx的周期为.
(ⅱ)型三角函数的周期
的周期为;
的周期为.
(2)认知
(ⅰ)型函数的周期
(ⅱ)的周期
的周期为;
均同它们不加绝对值时的周期相同,即对y=的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别.
(ⅱ)若函数为型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.
(ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明.
(3)特殊情形研究
(ⅰ)y=tanx-cotx的最小正周期为;
(ⅱ)的最小正周期为;
(ⅲ)y=sin4x+cos4x的最小正周期为.
由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象.
4、单调性
(1)基本三角函数的单调区间(族)
依从三角函数图象识证“三部曲”:
①选周期:
在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的一个周期;
②写特解:
在所选周期内写出函数的增区间(或减区间);
③获通解:
在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增区间族(或减区间族)
循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.
揭示:
上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.
(2)y=型三角函数的单调区间
此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为
①换元、分解:
令u=,将所给函数分解为内、外两层:
y=f(u),u=;
②套用公式:
根据对复合函数单调性的认知,确定出f(u)的单调性,而后利用
(1)中公式写出关于u的不等式;
③还原、结论:
将u=代入②中u的不等式,解出x的取值范围,并用集合或区间形成结论.
1、对称轴与对称中心
(1)基本三角函数图象的对称性
(ⅰ) 正弦曲线y=sinx的对称轴为;
正弦曲线y=sinx的对称中心为(,0).
(ⅱ) 余弦曲线y=cosx的对称轴为;
余弦曲线y=cosx的对称中心
(ⅲ)正切曲线y=tanx的对称中心为;
正切曲线y=tanx无对称轴.
认知:
①两弦函数的共性:
x=为两弦函数f(x)对称轴为最大值或最小值;
(,0)为两弦函数f(x)对称中心=0.
②正切函数的个性:
(,0)为正切函数f(x)的对称中心=0或不存在.
(2)型三角函数的对称性(服从上述认知)
(ⅰ)对于g(x)=或g(x)=的图象
x=为g(x)对称轴为最值(最大值或最小值);
(,0)为两弦函数g(x)对称中心=0.
(ⅱ)对于g(x)=的图象(,0)为两弦函数g(x)的对称中心=0或不存在.
2、基本变换
(1)对称变换
(2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换(左右平移)(5)上、下平移
3、y=的图象
(1)五点作图法
(2)对于A,T,,的认知与寻求:
①A:
图像上最高点(或最低点)到平衡位置的距离;
2A:
图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.
②:
图象的相邻对称轴(或对称中心)间的距离;
:
图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.
:
由T=得出. ③:
解法一:
运用“代点法”求解,以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策,若以图象与x轴交点坐标代入函数式求,则须注意检验,以防所得值为增根;
解法二:
逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题).
四、经典例题
例1、求下列函数的值域:
(1)
(2) (3)
(4) (5) (6)
分析:
对于形如
(1)
(2)(3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为的值域;
(ⅱ)转化为sinx(或cosx)的二次函数;
对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求值域,基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察y2;
(ⅱ)转化为分段函数来处理;
(ⅲ)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.
解:
(1)
∵
∴, 即所求函数的值域为.
(2)由
∴
∴ 注意到这里x∈R,,
∴
∴所求函数的值域为[-1,1].
(3)这里
令sinx+cosx=t 则有
且由
于是有
∵
∴
因此,所求函数的值域为.
(4)注意到这里y>
0,且∵∴即所求函数的值域为.
(5)注意到所给函数为偶函数,又当
∴此时
同理,当亦有. ∴所求函数的值域为.
(6)令
则易见f(x)为偶函数,且
∴是f(x)的一个正周期. ① 只需求出f(x)在一个周期上的取值范围.
当x∈[0,]时,
又注意到,
∴x=为f(x)图象的一条对称轴 ②
∴只需求出f(x)在[0,]上的最大值.
而在[0,]上,
递增.③亦递增④
∴由③④得f(x)在[0,]上单调递增.
∴ 即⑤
于是由①、②、⑤得所求函数的值域为.
点评:
解
(1)
(2)运用的是基本化归方法;
解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法;
解(4)借助平方转化;
解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致.
例2、求下列函数的周期:
(1)
(2);
(3);
(4);
(5)
与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为+k的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况下,设法转化为分段函数来处理.
(1)
=
=
∴所求最小正周期.
(2)
= ==
∴所求周期.
(3) =
=
=
.注意到的最小正周期为,故所求函数的周期为.
(4) 注意到3sinx及-sinx的周期为2,又sinx≥0(或sinx<
0)的解区间重复出现的最小正周期为2. ∴所求函数的周期为2.
(5)
注意到sin2x的最小正周期,又sinx≥0(或sinx<
0)的解区间重复出现的最小正周期,这里的最小公倍数为. ∴所求函数的周期.
对于(5),令 则由知,是f(x)的一个正周期.①
又
∴不是f(x)的最小正周期.②
于是由①②知,f(x)的最小正周期为.
在一般情况下,探求上述一类分段函数的周期,仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的,还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合,方可能获得正确结果.
请大家研究
的最小正周期,并总结自己的有关感悟与经验.
例3、已知函数的部分图象,
(1)求的值;
(2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.
(1)令,则由题意得f(0)=1
∵ ∴
注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为,故逆用“五点作图法” 得:
由此解得 ∴所求,.
(2)由
(1)得 令,解得,
∴函数f(x)图象的对称轴方程为;
令解得,
∴函数f(x)图象的对称中心坐标为.
前事不忘,后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程,便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式:
例4、
(1)函数的单调递增区间为 。
(2)若函数
上为单调函数,则a的最大值为 。
(3) 函数的图象的对称中心是 。
函数的图象中相邻两条对称轴的距离为 。
(4)把函数的图象向左平移m(m>
0)个单位,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值为 。
(5)对于函数
,给出四个论断:
①它的图象关于直线x=对称;
②它的图象关于点(,0)对称;
③它的周期为;
④它在区间〔-,0〕上单调递增.
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是 。
(1)这里的递增区间的正号递减区间递增且
∴应填
(2)由f(x)递增得
易见,
由f(x)递减得
当k=0时, 注意到而不会属于其它减区间, 故知这里a的最大值为.
(3)(ⅰ)令
∴所给函数图象的对称中心为(,0);
①
解法一(直接寻求) 在①中令 则有②
又在②中令k=0得, 令k=1得 ∴所求距离为-
解法二(借助转化):
注意到所求距离等于函数的最小周期的一半,又由①得这一函数的最小正周期为
T=,故所求距离为.
(4)这里将这一函数图象向左平移m(m>
0)个单位,所得图象的函数解析式为 令
则由题设知f(x)为偶函数f(-x)=f(x)
∴所求m的最小值为.
(5)为使解题的眉目清晰,首先需要认定哪个论断必须作为条件,哪个论断只能作为结论,哪个论断既可作为条件,又可作为结论;
一般地,独自决定图象形状的论断必须作为条件,既不能决定形状,也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里,③必须作为条件,而④只能作为结论.于是这里只需考察
①、③②、④与②、③①、④这两种情形.
(ⅰ)考察①、③②、④