高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练58文Word文档下载推荐.docx

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A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　当mn<

0时，分m<

0，n>

0和m>

0，n<

0两种情况．

①当m<

0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线；

②当m>

0时，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线．因此，当mn<

0时，方程＋＝1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．方程＋＝1表示实轴在x轴上的双曲线时，m>

0，必定有mn<

0.由此可得：

mn<

0是方程＋＝1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选B.

5．（2017·

河北邢台摸底）双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为（　　）

A．x±

2y＝0B．y±

2x＝0

C．x±

4y＝0D．y±

4x＝0

答案　A

解析　依题意，题中的双曲线即－x2＝1，因此其渐近线方程是－x2＝0，即x±

2y＝0，选A.

6．（2018·

湖北孝感一中月考）设点P是双曲线－＝1（a>

0，b>

0）上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（　　）

A．y＝xB．y＝x

C．y＝2xD．y＝4x

答案　C

解析　由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4c2＝16a2＋4a2，即c2＝5a2，则b2＝4a2，即b＝2a，则双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝2x.故选C.

7．（2018·

安徽屯溪一中模拟）已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1或－＝1D.－＝1或－＝1

解析　当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1（a>

0）．双曲线的离心率为e＝＝＝＝，∴＝，渐近线方程为y＝±

x＝±

x.

由题意，顶点到渐近线的距离为＝，解得a＝2，

∴b＝，∴双曲线的方程为－＝1.

当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1（a>

0）．双曲线的离心率为e＝＝＝，∴＝，渐近线方程为y＝±

x，由题意可知：

顶点到渐近线的距离为＝，解得a＝2，∴b＝，∴双曲线的方程为－＝1.

综上可知，双曲线的方程为－＝1或－＝1.故选D.

8．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1（a>

0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1，）B．（，2）

C．（1＋，＋∞）D．（1，1＋）

解析　依题意，0<

∠AF2F1<

，故0<

tan∠AF2F1<

1，则＝<

1，即e－<

2，e2－2e－1<

0，（e－1）2<

2，所以1<

e<

1＋，故选D.

9．已知双曲线mx2－ny2＝1（m>

0）的离心率为2，则椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　由已知双曲线的离心率为2，得＝2.

解得m＝3n.又m>

0，∴m>

n，即>

.

故由椭圆mx2＋ny2＝1，得＋＝1.

∴所求椭圆的离心率为e＝＝＝.

10．已知双曲线的方程为－＝1（a>

0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（　　）

解析　双曲线－＝1的渐近线为±

＝0，焦点A（c，0）到直线bx－ay＝0的距离为＝c，则c2－a2＝c2，得e2＝，e＝，故选B.

11．（2018·

成都市高三二诊）设双曲线C：

－＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（　　）

解析　如图，在圆O中，F1F2为直径，P是圆O上一点，所以PF1⊥PF2，设以OF1为直径的圆的圆心为M，且圆M与直线PF2相切于点Q，则M（－，0），MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ，所以＝，即＝，可得|PF1|＝，所以|PF2|＝＋2a，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以＋（＋2a）2＝4c2，即7e2－6e－9＝0，解得e＝，e＝（舍去）．故选D.

12．（2018·

贵阳市高三检测）双曲线－＝1（a>

0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（　　）

A．（1，）B．（，＋∞）

C．（1，）D．（，＋∞）

解析　依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±

x，且“右”区域是不等式组所确定，又点（2，1）在“右”区域内，于是有1<

，即>

，因此题中的双曲线的离心率e＝∈（，＋∞），选B.

13．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．

答案　λ<

－2或λ>

－1

解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴（λ＋2）（λ＋1）>

0，解得λ<

－1.

14．（2016·

北京）已知双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为（，0），则a＝________；

b＝________．

答案　1　2

解析　由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.

15．（2015·

课标全国Ⅱ，文）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±

x，则该双曲线的标准方程为________．

答案　－y2＝1

解析　方法一：

因为双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±

x，故点（4，）在直线y＝x的下方．设该双曲线的标准方程为－＝1（a>

0），所以解得故双曲线方程为－y2＝1.

方法二：

因为双曲线的渐近线方程为y＝±

x，故可设双曲线为－y2＝λ（λ>

0），又双曲线过点（4，），所以－（）2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为－y2＝1.

16．（2018·

湖南长沙模拟）P是双曲线C：

－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为________．

答案　2＋1

解析　设右焦点为F2，∵|PF1|－|PF2|＝2，

∴|PF1|＝|PF2|＋2，∴|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2＋|PQ|.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离．

由题意得l的方程为y＝±

x，F2（，0），F2到l的距离d＝1，∴|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1.

17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

答案　－＝1

解析　设双曲线的方程为－＝1，∴F1（－c，0），F2（c，0），P（x0，y0）．

在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|·

cos

＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|·

|PF2|.

即4c2＝4a2＋|PF1|·

又∵S△PF1F2＝2，∴|PF1|·

sin＝2.

∴|PF1|·

|PF2|＝8.

∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.

又∵e＝＝2，∴a2＝.

∴所求双曲线方程为－＝1.

18．（2018·

上海崇明一模）已知点F1，F2为双曲线C：

x2－＝1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·

的值．

答案　

（1）x2－＝1　

（2）

解析　

（1）设F2，M的坐标分别为（，0），（，y0）（y0>

0），

因为点M在双曲线C上，所以1＋b2－＝1，则y0＝b2，所以|MF2|＝b2.

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°

，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.

由双曲线的定义可知：

|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故双曲线C的方程为x2－＝1.

（2）由条件可知：

两条渐近线分别为l1：

x－y＝0，l2：

x＋y＝0.

设双曲线C上的点P（x0，y0）两条渐近线的夹角为θ，由题意知cosθ＝.则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.

因为P（x0，y0）在双曲线C：

x2－＝1上，所以2x02－y02＝2.

所以·

＝·

cosθ＝·

＝.

1．（2015·

广东，理）已知双曲线C：

－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

解析　因为双曲线C的右焦点为F2（5，0），所以c＝5.

因为离心率e＝＝，所以a＝4.

又a2＋b2＝c2，所以b2＝9.

故双曲线C的方程为－＝1.

2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y＝±

2xB．y＝±

x

C．y＝±

xD．y＝±

解析　由离心率为，可知c＝a，∴b＝a.∴渐近线方程为y＝±

x，故选B.

3．（2015·

天津，文）已知双曲线－＝1（a>

0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为（　　）

C.－y2＝1D．x2－＝1

解析　双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0.

由题意，得解得a2＝1，b2＝3，从而双曲线的方程为x2－＝1.

4．设F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·

|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（　　）

C.D．3

解析　由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以（|PF1|＋|PF2|）2－（|PF1|－|PF2|）2＝9b2－4a2，即4|PF1|·

|PF2|＝9b2－4a2.又4|PF1|·

|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.

5．（2015·

广东改编）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（　　）

解析　由曲线C的右焦点为F（3，0），知c＝3.由离心率e＝，知＝，则a＝2.故b2＝