第五章积分变换法.doc
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第五章积分变换法
分离变量主要是解决有界区域问题,对于大多数无界区域问题或半无界区域问题,如何求解,需引出另一种求解办法——积分变换法。
(一)积分变换法
1.积分变换:
就是将某些函数类中的函数,经过某种可逆的分积手续
变成另一函数类中的函数F(p)。
其中F(p称为f(x)的像函数,f(x)称为原函数,而是p和x的己知函数,称为积分变换核。
2.积分变换法:
对偏微分方程(常微分方程,积分方程)的定解问题中的各项实施积分变换,从而将偏微分方程(常微分方程和积分方程)的求解转换为常微分方程(代数方程)的求解办法叫积分变换法。
(二)变换
1.定义:
设函数在上连续,分段光滑且可积,则称函数
为函数的变换,记为
而称函数
为的逆变换,记为
显然
类似的,称函数
为的变换,而称函数
为函数的逆变换
2.性质
若记,则有
1°线性性:
2°延迟性:
3°位移性质:
4°相似性质:
5°微分性质:
若当时,,则
6°积分性质:
7°卷积性质:
其中:
定义为和的卷积
(三)变换:
1.定义:
设函数满足以下条件:
(1)当时,
(2)时,及除去有限个第一类间断点外,处处连续
(3)当时存在常数及使得
则称函数
为函数的变换,并记作,称函数
为函数的逆变换,并记作
显然
2.性质
若记
(1)线性性质:
(2)延迟性质:
(3)位移性质:
(4)相似性质
(5)微分性质:
(6)积分性质:
(7)卷积性质:
3.利用积分变换法求解数己定方程时常用到的积分公式
①
②
③
④
⑤
(四)积分变换法解题步骤
用积分变换法解题分三步
step1:
对方程和定解条件的各项取变换,得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。
Step2:
求解常微方程的定解问题,得到像函数;
Step3:
求像函数的逆,即得原定解问题的解。
(五)应用举例:
例1:
利用积分变换法求解弦振动方程的初值问题
解:
将t视为参数,对变量作Fourier变换,并证
则原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题
解上面常微分方程的定解问题,得
将空间的解还原到原空间
则
这与达朗贝尔公式的结果相一致。
例2:
求解热传导方程的初值问题
解:
将t视为参数,对x作变换,并记
则:
原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题.
解常微分方程的定解问题,得
(卷积性质)
由广义积分求值得:
例3:
求解热传导方程
解:
将t视为参数,对变量x实施变换,并记
于是原偏微分方程的定解问题化为:
解之得
例4:
求解
解:
将t视为参数,对u(x,t)关于变量x实施Fourier变换,并记
则原偏微分积化为:
解之得:
令并利用
得:
例5:
利用Laplace变换求解
解:
两边关于t实施Laplace变换,并记
则:
因为:
例6:
求解定解问题:
解:
将x视为参数,关于变量t实施变换有
并记
则有:
即
求得通解为:
由边界条件得
由边界条件
而
由变换的位移性质有:
例7:
设有一初始温度为3sin的单位长度的均匀杆,杆的侧面绝热而两端温度保持零度,试达杆内温度分布
解:
刻定解问题为:
对t实施变换,则
即:
即:
解此非齐次的二阶常微分方程得:
取变换的逆,则有:
思考:
利用分离变量法如何求解。
例8:
求解
方法1:
先对y面对x积分各一次
则
又
方法2:
采用积分变换法,对变量y实施Laplace变换有
并证
变为
即定解问题变为
例9:
求解一维半无限的热传导问题
解:
关于实施变换并记
则:
原问题的定解问题变为
由
(1)知
又
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