中考数学《三角形全等证明的基本类型与方法》教学案Word格式.docx

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案例2已知，如图，

和

都是等边三角形，且点

在一条直线上.

相交于点

（1）求证:

;

（2）求

的度数;

（3）判断

的形状并证明.

分析问题

（1）要证明

，我们仔细观察几何图形不难发现有两个三角形的形状大小完全一样，由此启发我们想到只要证明

即可.问题

（2）怎么证明呢?

还是先找到

，然后认真观察几何图形，很容易猜想到

是等腰三角形或等边三角形，通过观察发现

可以通过旋转得到

或者△

通过旋转得到

.先得等腰三角形，再找一个角是

，得到等边三角形结论.这一类型的几何证明关键是图形观察能力与数形结合能力.

3.两角与另外某一角的和相等

案例3如图，

是经过

顶点

的一条直线，

分别是直线

上两点.且

.直线

经过

内部时，请解决下面两个问题：

（1）如图1，若

且

，求

的度数

（2）如图2，若

，观察问题

（1）中

两角关系，并添加一个

应满足的条件，使

.结合添加的条件，证明:

分析问题

（1）学生经过计算后对“两个角与另外一个角和相等，那么这两个角相等”这样的等量代换关系也会有更深刻的认识，为解决后续问题

（2）积累经验.如将题目改变一下:

“如图3，直线

的外部，

，请提出关于

三条线段数量关系的合理猜想，直接写出结论，不需证明.”变式后题目的形式发生变化，但基本思路方法不变，故提醒学生借鉴上一题的解题策略运用类比思想解决问题.

二、三角形全等证明方法的一般步骤

1.审题

要求一边读题一边根据题意、对照图形把题目中的已知条件和求证的结论，尽量用自己的语言说出来，明确题目已经告诉了什么.弄清哪些是直接条件（证明结论时候可以直接拿来使用的条件，如证明三角形全等可以直接用的边或角，直接拿来证明两直线平行的同位角相等之类条件），分清哪些是间接条件（不能被用来直接应用的，需要转化为直接条件的条件），找出图形中隐藏的条件（如案例1中的公共边

，案例2中的的公共角

）.

2.猜想与整理

如案例2，仔细观察图形发现有两个三角形的形状大小完全一致，即全等.再发现这类证明题每个问题都蕴含着:

某两个角与其中的一个角的度数之和都等于同一个角度，然后通过等量代换得到某两个角相等.如

或

.这里虽然没有真正意义上的公共角，但通过与另外两个角和相等，就可以根据等量代换得到另两个角相等.

3.整理分析思路，书写证明过程

通过添加条件，运用找到的

关系，转化得到三角形中另一组相等角，然后将三角形全等三组条件按全等类型归纳好，即可证得全等并解决后续问题

4.检查

比较难的证明题，不能像上面那样直接4步骤就可以了，要综合进行步骤1、2，由问题入手大胆猜测，这种类型问题多数要运用三种基本图形变换，运用转化思想将一条边或一个角变换到另一个位置后构造全等图形.

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．下列计算正确的是（　　）

A．a+a＝a2B．6a3﹣5a2＝a

C．（2x5）2＝4x10D．a6÷

a2＝a3

2．如图,在☉O中,弦AB⊥BC,AB=3,BC=4,D是

上一点,弦AD与BC所夹的锐角度数是72°

则扇形BOD的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．下列事件中，是随机事件的是（）

A．任意抛一枚图钉，钉尖着地B．任意画一个三角形，其内角和是180o

C．通常加热到100℃时，水沸腾D．太阳从东方升起

4．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：

2，BC＝12

米，CD＝8米，∠D＝36°

，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：

tan36°

≈0.73，cos36°

≈0.81，sin36°

≈0.59）

A.5.6B.6.9C.11.4D.13.9

5．关于

的方程组

的解满足

，则

的取值范围是（）

6．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为18，我们发现第一次输出的结果为9，第二次输出的结果为12，……，则第10次输出的结果为（　　）

A．0B．3C．5D．6

7．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　）

A．15B．17C．19D．24

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°

，CD＝2

，则阴影部分图形的面积为（）

A．4πB．2πC．πD．

9．阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

．根据该材料填空：

已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则

的值为（　　）

A．4B．6C．8D．10

10．二次函数

的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）

A.抛物线开口向下B.抛物线与

轴有两个交点

C.抛物线的对称轴是直线

=1D.抛物线经过点（2,3）

11．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A.3B.6C.7D.8

12．如图，函数y＝

（x＞0）、y＝

（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（）

A.（1，1）B.（2，4）C.（3，1）D.（4，3）

二、填空题

13．如图，将矩形

沿

折叠，使

落在

边的点

处，过

作

交

于点

，连接

，若

=6，

的长为_____.

14．计算：

a2•a3=_____．

15．帐篷厂原计划生产7200顶帐篷，后来为了支援灾区，要求工厂生产的帐比原计划多

，并需要提前4天完成任务.已知实际生产时每天比原计划多生产720顶帐篷，设实际每天生产

顶帐篷，根据题意可列方程为__________．

16．将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，折痕为EF，连接AE，将AE折叠到AB上，折痕为AH，则

的值是______．

17．如图，AB是圆O的弦，AB＝20

，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°

，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．

18．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是_________。

三、解答题

19．如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°

，∠EDF＝30°

将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q

（1）如图2，当

时，EP与EQ满足怎样的数量关系？

并给出证明．

（2）如图3，当

时

①EP与EQ满足怎样的数量关系？

，并说明理由．

②在旋转过程中，连接PQ，若AC＝30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2），求S关于x的函数关系，并求出x的取值范围．

20．解不等式组：

．

21．图①、图②均为3×

3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，请在图①、图②中各画一个顶点在格点的三角形．要求：

（1）所画的三角形为钝角三角形；

（2）所画的三角形三边中有一边长是另一边长的

倍；

（3）图①、图②中所画的三角形不全等．

22．

23．在一次数学课上，李老师对大家说：

“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”操作步骤如下：

第一步：

计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；

第二步：

把第一步得到的数乘以25；

第三步：

把第二步得到的数除以你想的这个数．

（1）若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：

[（8+1）2﹣（8﹣1）2]×

25÷

8

（2）老师说：

“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0），请你帮小明完成这个验证过程．

24．如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）

（1）在图①中，BD＝AB，作△BCD的边BC上的中线DF；

（2）在图②中，BD≠AB作△ABD的边AB上的高DF．

25．如图，点B是⊙O上一点，弦CD⊥OB于点E，过点C的切线交OB的延长线于点F，连接DF，

DF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠CFD＝60°

，求CD的长．

【参考答案】***

题号

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

答案

C

B

A

D

13．

14．a5．

15．

16．

17．20

18．18+18π

19．

（1）EP＝EQ，理由见解析；

（2）①EQ＝2EP，理由见解析；

②

【解析】

【分析】

（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，∠PBE=∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证明结论；

（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，证明△MEP∽△NEQ，发现EP：

EQ=ME-NE=AE：

CE，继而得出结果；

②设EQ=x，根据上述结论，可用x表示出S，确定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范围．

【详解】

（1）连接BE，如图2：

证明：

∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形，

∴BE＝EC＝AE，∠PBE＝∠C＝45°

∵∠PEB+∠BEQ＝∠QEC+∠BEQ＝90°

∴∠PEB＝∠QEC，

在△BEP和△CEQ中，