直线与圆锥曲线的综合问题资料Word格式文档下载.docx

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（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A（0,2），连结AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？

并说明理由.

题型二　直线与圆锥曲线的弦的问题

例2　设椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左，右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点P是椭圆短轴的一个端点，△PF1F2的周长为16.

（2）求过点（3,0）且斜率为的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标.

点评　直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程（组），不等式（组）或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.

变式训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.

（2）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值.

　高考题型精练

1.（2015·

北京）已知椭圆C：

x2＋3y2＝3，过点D（1,0）且不过点E（2,1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

2.如图，已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0,1）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO、BO分别交直线l：

y＝x－2于M、N两点，求MN的最小值.

3.（2015·

南京模拟）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>

0）到直线l：

x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线l上移动时，求AF·

BF的最小值.

4.已知点A，B是抛物线C：

y2＝2px（p>

0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x－y＋2＝0的距离为.

（2）现给出以下三个论断：

①直线AB过焦点F；

②直线AD过原点O；

③直线BD平行于x轴.

请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.

答案精析

常考题型典例剖析

例1　

（1）

解析　设左焦点为F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.

∵AF＋BF＝4，

∴AF＋AF0＝4，

∴a＝2.

设M（0，b），则＝≥，∴1≤b＜2.

离心率e＝＝＝＝∈.

（2）解　①因为椭圆M的离心率为，

所以＝2，得b2＝2.

所以椭圆M的方程为＋＝1.

②（ⅰ）过点P（0,4）的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交.

（ⅱ）过点P（0,4）的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y＝kx＋4.由

消去y，得（1＋2k2）x2＋16kx＋28＝0.

因为直线l与椭圆M相交，

所以Δ＝（16k）2－4（1＋2k2）×

28＝16（2k2－7）>

0，

解得k<

－或k>

.

综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时，直线l与椭圆M相交.

变式训练1　解　

（1）由已知条件得椭圆C的焦点为

F1（－2,0），F2（2,0），

PF1＝＝＝2＋1，

PF2＝＝＝2－1，

2a＝PF1＋PF2＝4，则a＝2.

b2＝a2－c2＝4，因此椭圆C的方程为＋＝1.

（2）设D（x1,0），

＝（－x1,2），

＝（－x0,2）；

由⊥，得·

＝0，

则G（－x1,0）

x1x0＋8＝0，则x1＝－，

kQG＝＝＝，

直线QG的方程为y＝＝（x0x－8），

又＋＝1，y＝4＝（8－x），

可得y＝±

（x0x－8），①

将①代入＋＝1整理得8x2－16x0x＋8x＝0，

Δ＝（－16x0）2－4×

64x＝0，

∴直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.

例2　解　

（1）设椭圆的半焦距为c，则由题意，

可得　解得

所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.

故所求椭圆C的方程为＋＝1.

（2）方法一　过点（3,0）且斜率为的直线l的方程为y＝（x－3），将之代入C的方程，得＋＝1，

即x2－3x－8＝0.

因为点（3,0）在椭圆内，设直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

因为x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为×

（－3）＝－.

故所求线段的中点坐标为.

方法二　过点（3,0）且斜率为的直线l的方程为y＝（x－3），因为（3,0）在椭圆内，所以直线l与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），中点M的坐标为（x0，y0），

则有

由①－②，得

＝－，

即＝－.又y0＝（x0－3）,

所以

变式训练2　解　

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a>

0），

则解得a＝，b＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）①当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意得－<

m<

0或0<

将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，

所以S△AOB＝|m|＝.

解得m2＝或m2＝.（ⅰ）

又＝t＝t（＋）＝t（2m,0）＝（mt,0），

又点P在椭圆上，所以＝1.（ⅱ）

由（ⅰ）（ⅱ）得t2＝4或t2＝.

又因为t>

0，所以t＝2或t＝.

②当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋n，

由得（1＋2k2）x2＋4knx＋2n2－2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由Δ＝16k2n2－4（1＋2k2）（2n2－2）>

0得1＋2k2>

n2.

此时x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2n＝.

所以AB＝

＝2.

又点O到直线AB的距离d＝.

所以S△AOB＝d·

AB

＝×

2.

＝·

·

|n|＝.

令r＝1＋2k2代入上式得：

3r2－16n2r＋16n4＝0.

解得r＝4n2或r＝n2，

即1＋2k2＝4n2或1＋2k2＝n2.

又＝t＝t（＋）＝t（x1＋x2，y1＋y2）

＝.

又点P为椭圆C上一点，

所以t2＝1，

即t2＝1.

由得t2＝4或t2＝.

又t>

0，故t＝2或t＝.

经检验，适合题意.

综合①②得t＝2或t＝.

常考题型精练

1.解　

（1）椭圆C的标准方程为＋y2＝1，

所以a＝，b＝1，c＝.

所以椭圆C的离心率e＝＝.

（2）因为AB过点D（1,0）且垂直于x轴，

所以可设A（1，y1），B（1，－y1），

直线AE的方程为y－1＝（1－y1）（x－2），

令x＝3，得M（3,2－y1），

所以直线BM的斜率kBM＝＝1.

（3）直线BM与直线DE平行，证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，由

（2）可知kBM＝1.

又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE，

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y－1＝（x－2）.令x＝3，得点M，

由得（1＋3k2）x2－6k2x＋3k2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

直线BM的斜率kBM＝，

因为kBM－1＝

＝

＝＝0

所以kBM＝1＝kDE.

所以BM∥DE，

综上可知，直线BM与直线DE平行.

2.解　

（1）由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py（p>

0），则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋1.

由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

从而|x1－x2|＝4.

由

解得点M的横坐标xM＝＝＝.

同理点N的横坐标xN＝.

所以MN＝|xM－xN|

＝8

令4k－3＝t，t≠0，则k＝.

当t>

0时，MN＝2>

2.

当t<

0时，MN＝2≥.

综上所述，当t＝－，即k＝－时，

MN的最小值是.

3.解　

（1）依题意知＝，c>

0，解得c＝1.

所以抛物线C的方程为x2＝4y.

（2）由y＝x2得y′＝x，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y－y1＝（x－x1），即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.

同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，

又点P（x0，y0）在切线PA和PB上，

所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，

所以（x1，y1），（x2，y2）为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.

（3）由抛物线定义知AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，

所以AF·

BF＝（y1＋1）（y2＋1）＝y1y2＋（y1＋y2）＋1，

联立方程

消去x整理得y2＋（2y0－x）y＋y＝0，

所以y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，

BF＝y1y2＋（y1＋y2）＋1

＝y＋x－2y0＋1

＝y＋（y0＋2）2－2y0＋1＝2y＋2y0＋5

＝22＋，

所以当y0＝－时，AF·

BF取得最小值，且最小值为.

4.解　

（1）∵抛物线C：

0）的焦点为F，依题意得d＝＝，

解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.

2、你大部分的零用钱用于何处？

（2）①命题.若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，则直线BD平行于x轴.

营销调研课题设直线AB的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由　得y2－4ty－4＝0，

∴y1y2＝－4.直线AD的方程为y＝x，