版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文Word文档格式.docx

版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文Word文档格式.docx

《版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文Word文档格式.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（3）若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.（　　）

（4）“x>

－1”是“x>

0”的充分不必要条件.（　　）

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2．教材衍化

（1）（选修A1－1P6练习）命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案　C

解析　若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．故选C.

（2）（选修A1－1P12A组T3）x2－3x＋2≠0是x≠1的________条件．

答案　充分不必要

解析　若x2－3x＋2≠0则x≠1且x≠2，此时充分性成立，

当x＝2时，满足x≠1，但此时x2－3x＋2＝0成立，即必要性不成立，

即x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要条件．

3．小题热身

（1）（2017·

浙江高考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　解法一：

∵数列{an}是公差为d的等差数列，

∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，

∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.

若d>

0，则21d>

20d,10a1＋21d>

10a1＋20d，

即S4＋S6>

2S5.

若S4＋S6>

2S5，则10a1＋21d>

10a1＋20d，即21d>

20d，

∴d>

0.∴“d>

0”是“S4＋S6>

2S5”的充分必要条件．

故选C.

解法二：

∵S4＋S6>

2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>

2（S4＋a5）⇔a6>

a5⇔a5＋d>

a5⇔d>

0，∴“d>

2S5”的充分必要条件．故选C.

（2）（2017·

山东潍坊高三期末）命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

答案　B

解析　原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题，又当x2－8x＋15＝0时，x＝3或5.

故其逆命题：

“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．故选B.

题型1　四种命题的关系及真假判断

　　已知：

命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（　　）

A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m>

1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m>

1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m>

1,则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题

本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断．

答案　D

解析　由f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.

因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m>

1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．故选D.

　（2018·

黄梅期末）给出下列命题：

①命题“若b2－4ac<

0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根”的否命题；

②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>

b>

0，则

>

0”的逆否命题；

④“若m>

1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>

0的解集为R”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断．

答案　①②③

解析　①命题“若b2－4ac<

0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根”的否命题是“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根”，是真命题；

②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；

0”是真命题，∴它的逆否命题也是真命题；

④命题“若m>

0的解集为R”的逆命题是“若mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>

0的解集为R，则m>

1”是假命题，

∵不等式的解集为R时，

的解集为∅，∴逆命题是假命题；

∴真命题有①②③.

方法技巧

四种命题关系及真假判断的方法

1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；

如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．例如典例2.

2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题为假命题，只需举出反例．

3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．例如冲关针对训练2.

冲关针对训练

1．（2018·

陕西模拟）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

解析　先证原命题为真：

当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝

，∴原命题为真，故逆否命题为真；

再证逆命题为假：

取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴逆命题为假，故否命题也为假．故选B.

2．（2017·

沐阳县期中）以下四个命题中是真命题的有________（填序号）．

①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

答案　①②

解析　对于①，命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，它是真命题；

对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；

对于③，命题“若A∩B＝B，则A⊆B”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；

综上，正确的命题是①②.

题型2　充分条件与必要条件的判定

角度1　利用定义判断充分、必要条件

　　（2018·

赣中南五校联考）已知α，β均为第一象限角，那么α>

β是sinα>

sinβ的（　　）

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

利用定义结合代特殊值法进行判断．

解析　由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋

，β＝

，有α>

β，但sinα＝sinβ，即α>

β不是sinα>

sinβ的充分条件；

又由α，β均为第一象限角，可取α＝

，β＝2π＋

，有sinα>

sinβ成立，但α<

β，即α>

sinβ的必要条件，综上所述，α>

sinβ的既不充分也不必要条件．故选D.

角度2　等价转化法判断充分、必要条件

阳山模拟）“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（　　）

A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件

C．充要条件D．充分不必要条件

用等价转化法．

答案　A

解析　由题意得：

∵命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”与命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”互为逆否命题．

∴判断命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”的真假只要判断命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”的真假即可．

因为命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”显然是假命题．

所以命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”是假命题，

∴a≠1或b≠2推不出a＋b≠3.

同理“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，

∴命题“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题．

∴a＋b≠3⇒a≠1或b≠2.

∴“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．故选A.

角度3　集合法判断充分、必要条件

　　（2017·

天津高考）设θ∈R，则“

＜

”是“sinθ＜

”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

集合法．

解析　∵

⇔－

＜θ－

⇔0＜θ＜

，sinθ＜

⇔θ∈

，k∈Z，

∴“

<

”是“sinθ<

”的充分而不必要条件．故选A.

角度4　探求结论成立的充分、必要条件

延安质检）函数f（x）＝

有且只有一个零点的充分不必要条件是（　　）

A．a<

0B．0<

a<

C.

1D．a≤0或a>

1

用数形结合法，集合法．

解析　因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>

1.

观察选项，根据集合间关系{a|a<

0}{a|a≤0或a>

1}．故选A.

充分条件和必要条件的三种判断方法

1．定义法：

可按照以下三个步骤进行

（1）确定条件p是什么，结论q是什么；

（2）尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；

（3）确定条件p和结论q的关系．见角度1典例．

2．等价转化法：

对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．见角度2典例．

3．集合法：

根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．见角度3典例．

石家庄模拟）命题p：

|x|<

1，命题q：

x2＋x－6<

0，则綈p是綈q成立的（　　）

C．充要条件D．既不充