上海市嘉定区学年高二年级第二学期期末考试数学试题Word下载.docx
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（1,2,3）和（—2,3,—1）,则该二面角的大小为（结果用反三角函数表示）.
10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号1、2、3,从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有种.
11.已知点尸（"
），2（w,v）,p|+|r|<
2,w2+v2=b复数u、z2在复平面内分别
对应点夕、Q,若％=4+马，则同的最大值是.
12.已知点。
在二面角2—A8一4的棱上，点。
在半平面a内，且/POB=二,若12
对于半平而夕内异于。
的任意一点0,都有NPOQN3,则二面角。
一A8一4大小的取值的集合为.
二、单选题
13.“夫叠棋成立积，缘事势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理
14
15.在复数范围内，多项式4/+1可以因式分解为（）
16.已知抛物线/=2px（〃是正常数）上有两点4（%,其）、8（9»
2），焦点、F,
甲：
x}x2=:
乙：
力）'
2=一/九
3■＞
丙：
OA-OB=-二4
112
I.+=—
MM
以上是“直线A3经过焦点户”的充要条件有几个（）
A.0B.1C.2D.3
三、解答题
17.已知复数卬满足卬（l+2i）=4+3i（i为虚数单位），z=-+|w-2L求一个以zw
为根的实系数一元二次方程.
18.在平面直角坐标系中，椭圆。
：
£
+今=1（〃＞人＞0）,右焦点尸?
为卜,,（））.
（1）若其长半轴长为2,焦距为2,求其标准方程.
（2）证明该椭圆上一动点月到点F?
的距离△的最大值是a+c.
19.推广组合数公式，定义推：
=：
'
（•'
二上二+其中X£
R,meN）且规ml
（1）求的值;
c3
（2）设x〉0,当x为何值时，函数/（'
）=葭］取得最小值？
20.被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类
“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为4的正方体
ABCD-ABCiD中，点？
（i=l,2,…,24）为棱上的四等分点.
（1）求该方灯体的体积:
（2）求直线46和的所成角;
（3）求直线4片和平而《鸟外的所成角.
21.双曲线三一六=1（4/＞（））的左、右焦点分别为入、F2,直线/过尸2且与双曲线交于A、B两点.
（1）若,的倾斜角为a=B是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程：
（2）〃=h=l,若/的斜率存在，且（用+用）•通=。
，求/的斜率；
2.2
（3）证明：
点夕到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值卓丁是该点在已a2+b2
知双曲线上的必要非充分条件.
参考答案
1.（±
V2,0）
【分析】
从椭圆方程中得出。
、〃的值，可得出C的值，可得出椭圆的焦点坐标.
【详解】
由题意可得“=G0=1,.”=后方=四=仔
因此，椭圆工+），2=1的焦点坐标是（土立0）,故答案为（土四,0）.
【点睛】
本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出。
、b.。
的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.
2.1
由z（l+i）=2得出z=二，再利用复数的除法法则得出z的一般形式，可得出复数z的实部.
/、22（1-/）2（1-/）
•「z（l+i）=2,.-^=—=--L——-=^—2=1-/,因此，复数z的实部为i，
故答案为1.
本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
3.4
设球的半径为H,可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.
设球的半径为H,则球的表而积为《乃宠？
，球的大圆面积为兀Rt
因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：
4.
本题考查球的表而积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4.空
【分析】利用正弦定理计算出正四而体底而三角形的外接圆半径r,再利用公式力=可得出
正四面体的高.
设正四面体底面三角形的外接圆的半径为，，由正弦定理得
因此，正四而体的高为h=，2—户=，=手，故答案为学.
本题考查正四而体高的计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.
5.20
【分析】利用二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式
展开式的常数项.
所以，二项式|\+L］展开式的常数项为。
=20,故答案为：
20.
\X）
本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用X的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
6.36
由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.
由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，
因此，符合条件的三位数的个数为=3x12=36,故答案为36.
本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.6朽
计算出圆锥底而圆的半径，然后利用圆锥的侧而积公式可计算出圆锥的侧面积.
由题意知，圆锥的底面半径为r=①/=1,
因此，圆锥的侧面积为S=;
rxlxg=J%，故答案为：
小冗.
本题考查圆锥的侧而积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底而圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.
8.60°
.
计算出/?
的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.
由题意知，双曲线二—三=1的虚轴长为给=2,得b=l,
所以，双曲线的渐近线方程为），=±
4工，两条渐近线的倾斜角分别为30、150。
，因此，两渐近线的夹角为60,故答案为60,
【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
9.arccos—
【分析】设锐二而角的大小为8,利用空间向量法求出cos。
的值，从而可求出。
的值.
|（123）・（-2,3,T）|1
设锐二面角的大小为氏则cos"
卞二］一_r、，二布，
V12+22+32xa/（-2）2+32+（-1）^14
0=arccos—♦故答案为arccos1414
【点睛】本题考查利用空间向量法计算二而角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力,属于基础题.
10.6
【分析】设红色的三个球分别为A、&
、A3,黄色的三个球分别为四、B?
、蓝色的三个球分别为G、c2.g,列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.
设红色的三个球分别为A、4、A3,黄色的三个球分别为四、B?
、蓝色的三个球分别为G、g,现从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有：
（4，员6）、
（AW，G）、（4,%G）、（4WC）、（4,昂。
2）、（4，员6）,
因此，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有6种，故答案为6.
本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时,可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
11.3
【分析】由题意可知，点尸在曲线k|+|y|<
2内，点。
在圆r+V=1上，利用三角不等式得出同=旧+引“同+同=|。
尸|+|。
2|，可求出同的最大值.
由题意知，点P在曲线N+|y|<
在圆/+），2=i上，如下图所示：
由三角不等式得|W=卜+玄|W同+同=|。
。
|=|。
尸|+1<
2+1=3,
当点尸为正方形的顶点，且点而、诙方向相反时，目取最大值3,故答案为3.
本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解,能简化计算,考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12.{90}
画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.
如下图所示，过点夕在平面。
内作尸C_LA8,垂直为点C,
点。
在二而角a--A的棱上，点P在平而。
内，且=五，
若对于平而夕内异于点。
的任意一点。
，都有NPOQN二.
12
因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，
即ZPOB是直线P。
与平而P所成的角，.•.PC_L平而夕，
•.•尸Cu平面夕，所以，平面a_L平面夕，所以，二而角—6的大小是90.
故答案为:
{90}.
本题考查二而角平而角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.
13.C
由题意可得求不规则几何体的体枳的求法，即运用祖相原理.
“夫叠棋成立积，缘事势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平而的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖附命名的数学原理，故选C.
本题考查祖晒原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.
14.B
利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.
fl1
由组合数的定义可知C；
"
=A选项错误；
皿fi!
由排列数的定义可知力〃=7B选项正确：
由组合数的性质可知C；
+C>
=C:
;
则c、D选项均错误,故选B.
本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.
15.A
【分析】将代数式化为4/+1=4/-产，然后利用平方差公式可得出结果.
本题考查复数范闱内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.
16.B
设直线48的方程为x=m.V+L将直线A3的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验
证四个选项结论成立时，实数J的值，可以得出“直线48经过焦点户”的充要条件的个数.
【详解】设直线AB的方程为x=m）'
+/,则直线A3交工釉于点丁。
0）,且抛物线的焦点厂的坐
标为-
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