胡不归问题模型胡不归例题模型Word下载.docx
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显然，根据两种路面的状况和在鼻上行走的速度值.可以在A
（:
上选逵一点D.小快子从A走到Dr然后从D折往B.可望扇早至哒目的地B+
用现代的数学港言表达出来就是：
已知在驿道和砂地上行走的速度分SJ^JVI和也,在AC上找一定点D,使从A至D,再从D至B的行走时闾嚴.
于是■问题在于女咧去找出D点•这个古老的“胡不归"
冋题冈靡了T峯年r—直到十七世纪中叶・才宙法匡着名科学宣務尔马播幵了它的面妙.
二.模型解决
第一步《设出时问“将數学冋毎字母化）:
设总时间为t,则“耳+子，这里v\>
v19耳V’
更求的就是I的巖小值，这是一个系数不为】的最值问題，而且有两个系数均不为"
第二步《掳敢“大系數”,化为只有一个系数不为1的晟侑问題〉：
一般情况下，週到两个系数不为1的最值问題，苜先要将其转化为里个系数不为1的最值问尬，这个转化还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可；
问题是，该提取哪个系数比较好呢？
一般情况下，提取数值比较大的那个系数：
董本
沁，呻吓吹达式中两个系吩脣因砲沁严来，卄丄（冬•仞・£
>
&
）,注意这里人与岭均为常数，这样要求I的最小值，只要求
第三步〈构造三角的数，化为系数均为1的常規最值冋題〉
:
如何求解冬
%
AD^DB
AD+DB的最小值即可，从而问竝核转化为单个系数不为1的最值问題;
的最小值问越呢？
还是要您办法处理不为1的系数，将系数都化为1.但罡问題来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！
那咋办？
数学是门神奇的科学，只有你想不到，没耳地做不到的！
联想到初中阶段学到的锐角三角因数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无形中化为1,这也罡解决所谓“胡不归"
问題的核心与难点所在，具体襟作如下：
由冬VI联想到三角函数值，如图1・2所示，过定点A在JS线AC的下方构造税甬Z*1
y
CAE=a>
使其满足sina=j
再过动点D作DG丄AE于点G，则sina==,从而有DG二空・4D;
——片Vx
图1・2
宴吩4嘶最仙懸，叭利转化必+场叭、值问题，变成了
一个系数均为1的常规最值问題;
需要特别提醒大家的是，这里的关键角a是依托于瑯些考虑作岀来的呢？
注意到显原始的"
问题是一个"
两走一动型"
品值问题,只不过荼数不为1了而已；
如图1-2，点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上；
上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的,即过定点A作一条肘线与定直线AC所交锐角为角a即可！
说到底就是"
抓不变示"
的解题策略,依托于定点A及定直线AC作角a,使其满足sina=V2/V1,即可顺利将所谓"
"
难题“转化为系数均为1的韋规鼠值问题！
第四步（利用“垂线段杲匹原理”,解决系数均为1的常規最值冋題〉：
注意到构造的AE也是一条定射线，要求DG+DB的最小值问题，其实就是左两定直线AC、AE±
分别找点D、G,且DG丄AE,使DG^DB^小.
先利用“两点之间线段晟短"
易^DG^DB>
BG,当且仅当B、D、G三点共线时取爹号丿
如團1-3所示，再利用“垂线段最短”只爲过点B作BG丄AE于点G,此时BG最小,则BG与AC的交点即为所要寻找的点D）
S1-3
E
因而t=—・Q+DB）二丄（DG+DB）A丄BG二丄•肋・sinZB4G,其中冬片KKK・
AB及乙BAG均为常值，故所求时间的最小值为丄・ABsinZBAG.
K
至此，"
胡不归”模型得到完矣I?
决！
如果奄竜一息的父亲能够坚持封1-JBsinZBJGiA个时间，那么就能够见他的儿
*2
子杲后一面了！
三、原题解决
回到我们最初的考题上，设蚂奴从点A到点E所関的时间为t,如厨1-4,则
t=—+—=JD+—,要求的就是t的最小值，即JD+—的巖小值：
11.2555
很明显，这就是一个曲型的“胡不归”问题，可按照上述解决模型的步礫进行操作：
图1・4
第一步（构三角的数，化系数为1）：
由系数牛VI联想到三角函数值，如图1.5所示,
4过定直线EB±
的定点E在直线EB的上方构造锐角ZBEF=a,使;
再过动点D作DG丄EF于点G,WJsina=-=—,从而WDG=-DEy
八5DE5
4DE
这样t=JD+—=AD^DG,转化为了常规的系数均为1的最值问題；
5
第二步（寻縣目特Sett,委新谓整囹形〉：
但先不要忙于计算，我们还鉴敏锐地竜识
44
到此题有个角很特殊，那就是tanZEBA=-,由此易知sinZEB#-,因而刚刚我们所作35
图1・6
第三步（利用“垂线段屋短原理”,解次系数均为1的常銀是侑冋趣）：
注童到构造的EF也衆一条定射线，要求AD+DG的最小值问题,其实就罡在两定直线EB、EF上分别找点D、G,且DG丄EF,使AD+DG最小.
先利用“两点之间线段最短"
易^AD^DG^AGf当且仅当A、D、G三点共线时取奪号；
如图1・7所示，再利用“垂线段最短”只霧过点A作AG丄EF于点G,此时AG最小,则AG与EF的交点即为所賛寻找的.点D;
=AD+DG>
AG,故所求时间t的最小值即为AG的长，即点E的纵坐
图1-7
第四步（求定点E的坐标）：
这里提供两种方法求点E的坐标；
方法一（求交点坐标）：
设直线EB与y轴交于点如图1・8所示，由題易知点B
4
的坐标为（3,0）,在RtAMOB中由tanZEBA二一知10帖4,则点11坐标为（0,4）;
3
由B（3,0）及K（0,4）可得亶线EB的解析式为尸-jxH;
4彳
联立言线EB与挖物线的解析式得：
仁3,即宀2厂3=-'
x+4,即
y=x2-2x-33
3宀2厂21=0,解之得耳二-?
Xj=3（舍去）,故点E的坐标为（-?
—）;
339
方法二（设坐标法〉：
设点E的坐标为（I,r'
-2r-3〉,过点E作EH丄x轴于点H,如S1-9所示，在RtAEHB中由tanZEBA=-可得—即（一3X『+l）=g,即
3BH3373
47764
—（r+1）=—＞解得r=—9故点E的坐标为（—9—）；
3339
因此，所求时间t=AD^—的最小值为聖.
59
此题播定，所谓的“难蝕”看来也不是太难啊，玩的都罡“倉路”！
图1・9
解題后反思：
平时”套路"
积累多了，真的遇到了所谓的"
套路题”，同学们就能立于不败之地了！
这题也给我们的敦学一走的启发性，即应该車视模型敎学这一块！
有人说"
成也模型，败也模型"
，但我想说如臬負的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的憐E出模型达到更高境界也是痴心妄想！
初中阶段学生还是应该申视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节新课，毎一道题目可能都能称之为一个模型！
其实名称都是回审.或者说叫某某模型也无所谓，之所以起名称，更主要的还是希盅学生能做到"
顾名思义"
之效，晶终达到熬能生巧之目的！
【来龙】3
有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际,老人还在不断•商响的叨念：
胡不归？
……”卩
早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图1）-4是出发地,2?
罡目的地，必罡一条释道，而驿道第目的地的一侧全罡砂土地带。
为了急切回家，小伙子选择了直纟轴程肿」
但是他忽略了在驿道上行走要比在砂土地帯行定快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快〉,罡可以提前抵达家门的。
「
那么这应该魁哪条路线呢？
显然，根抿两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在“上鮭一点D小伙子从久走到6可望巖早到达B。
用现代的科学语言表达就是：
“已知在驿道木附地上行走的速度分别为VI和V2,在"
上求一个定点D使得十-尸3的f亍走时间最匡”于罡冋題在于如何去找出D点…
【建模】“
起点為圧冬点B固定，在过*点的定直线上取一点6使得r=—+—的值最小,V1V2
可以转化为求D.J.DB（0<
-<
1）sSi-^DA-DB（0<
1〉型的最值问题*
mmmm
【解模】’
具体例子：
如图，一条笔直的公路/芽过草原，公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B'
、B的亘线距离罡13千米.一夭，居民点B着火，消防员受命§
箱1往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度罡40千米/小时，则消防车在出发后最快经过_d、时可到达居民点文（友情提董：
消防车可从公路的任意位曲入草地行驶.八
13/；
—~c
解析:
设消防车从公路上点D进入草地行驶。
问题是逊1尸罟+欝•右+DB）的最小值，问題立即转化为求：
加+M的最小值。
2
接下来就是“套路”:
构造一条线段轸于寸DA,并将新线段与线段DB“接起来”,在初中数学中我们学习过三个“一半”定理：
矗直角三角形中30。
说角所对直角边爹于赭边一半（劝30°
・I）＞②三角形中位线平行第三边月麻第三边长的一半；
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
它rffi解决线段倍分去系的利器・我fj獺抿血30。
V来解决任务:
衽直线/的下方作ZG4A/=30°
过点D作DE—M于点则DW+DA*
$、
再往下来就太容易了。
卩
问1鮮专为求折絃段aaw的聚小值。
你会解决了吗？
宜接上图算了。
由“垂线段最短”
的基本数学事实出发，可咲过点3作BF丄于点几交M于点巧则点砂卩为所求，此时DF：
：
丄D4、
°
2
由对顶三角形显然有ZCBD03O°
逬而△CBD：
可解，求出CDJOBD沏长后，就能求出此题的最终答案了。
亠
M、.
ZCBDf=30o,CD-
【归纳H
胡不归问題模型的解題方案：
~
S矽1:
将所求线段和$$换为【・D4・m（0<
1）的形式（以上题为例〉八
mm
蚀2:
在直线，的异于肿的一側作Za,使其正弦值为巴；
“
m
S矽3:
过点£
问厶的完一边上引垂线段，其与亶线/的交点即为所求。
S吗4：
剩下的就是计算了，可咲借助三角国数、相似形、勾股定理尊知识完成。
【用模】~
重点感受一下中考里面星如何考查“胡不归问题"
的。
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