因式分解专题复习及讲解很详细Word格式.docx
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分析：
从“整体〞看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部〞看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
原式=
=每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：
第一、二项为一组；
解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=原式=
==
练习：
分解因式1、2、
〔二〕分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
假设将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式=
=
例4、分解因式：
分解因式3、4、
综合练习：
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
〔5〕〔6〕
〔7〕〔8〕
〔9〕〔10〕
〔11〕〔12〕
四、十字相乘法.
〔一〕二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：
〔1〕二次项系数是1；
〔2〕常数项是两个数的乘积；
〔3〕一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么根本规律？
例.0＜≤5，且为整数，假设能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：
但凡能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>
0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数，
例5、分解因式：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×
3=（-2）×
（-3）=1×
6=（-1）×
（-6），从中可以发现只有2×
3的分解适合，即2+3=5。
12
=13
=1×
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
原式=1-1
=1-6
〔-1〕+〔-6〕=-7
练习5、分解因式
（1）
（2）（3）
练习6、分解因式
（1）
（2）（3）
〔二〕二次项系数不为1的二次三项式——
条件：
〔1〕
〔2〕
〔3〕
分解结果：
=
例7、分解因式：
1-2
3-5
〔-6〕+〔-5〕=-11
练习7、分解因式：
〔3〕〔4〕
〔三〕二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
练习8、分解因式
（1）
（2）（3）
〔四〕二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3
原式=解：
练习9、分解因式：
综合练习10、〔1〕〔2〕
〔7〕〔8〕
〔9〕〔10〕
分解因式：
五、换元法。
例13、分解因式〔1〕
〔2〕
〔1〕设2005=，那么原式=
〔2〕型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，那么
∴原式==
==
练习13、分解因式〔1〕
〔2〕
〔3〕
例14、分解因式〔1〕
观察：
此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称〞。
这种多项式属于“等距离多项式〞。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法。
原式==
〔2〕
设，那么
∴原式==
练习14、〔1〕
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式〔1〕
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
======
==
练习15、分解因式
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
七、待定系数法。
例16、分解因式
原式的前3项可以分为，那么原多项式必定可分为
设=
∵=
∴=
比照左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、〔1〕当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
〔2〕如果有两个因式为和，求的值。
〔1〕分析：
前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
那么=
比拟对应的系数可得：
，解得：
或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
〔2〕分析：
是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
那么=
∴解得，
∴=21
练习17、〔1〕分解因式
〔2〕分解因式
〔3〕：
能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
〔4〕为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二局部：
习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式：
m3-4m=.
3.分解因式：
x2-4y2=_______.
4、分解因式：
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），那么n的值为.
6、假设，那么=_________，=__________。
二、选择题
7、多项式的公因式是（）
A、B、C、D、
8、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
10.以下多项式能分解因式的是〔〕
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
11．把〔x－y〕2－〔y－x〕分解因式为〔〕
A．〔x－y〕〔x－y－1〕B．〔y－x〕〔x－y－1〕
C．〔y－x〕〔y－x－1〕D．〔y－x〕〔y－x＋1〕
12．以下各个分解因式中正确的选项是〔〕
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac〔5b2＋3c〕
B．〔a－b〕2－〔b－a〕2＝〔a－b〕2〔a－b＋1〕
C．x〔b＋c－a〕－y〔a－b－c〕－a＋b－c＝〔b＋c－a〕〔x＋y－1〕
D．〔a－2b〕〔3a＋b〕－5〔2b－a〕2＝〔a－2b〕〔11b－2a〕
13.假设k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为〔〕
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把以下各式分解因式：
14、15、
16、17、
18、19、；
五、解答题
20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。
求纸片剩余局部的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？
（取3.14，结果保存2位有效数字）
22、观察以下等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。
经典二：
爱特教育
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7.因式分解的一般步骤是：
〔1〕通常采用一“提〞、二“公〞、三“分〞、四“变〞的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；
如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
〔2〕假设上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项〔添项〕等方法；
下面我们一起来回忆本章所学的内容。
1.通过根本思路到达分解多项式的目的
例1.分解因式
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；
也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式
解二：
2.通过变形到达分解的目的
将拆成，那么有
将常数拆成，那么有
3.在证明题中的应用
例：
求证：
多项式的值一定是非负数
现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
4.因式分解中的转化思想
例：
此题假设直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
说明：
在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换〞是很重要的。
中考点拨
例1.在中，三边a,b,c满足
求证：
此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2.：
__________
利用等式化繁为易。
题型展示
1.假设x为任意整数，求证：
的值不大于100。
代数证明问题在初二是较为困难的问题。
一个多
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