矩阵二项式2Word文件下载.docx
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又∵点P在椭圆上,故4x+y=1,从而x+y=1.
∴曲线F的方程是x2+y2=1.
解 由特征值、特征向量定义可知,Aa1=λ1a1,
即=-1×
,得
同理可得解得a=2,b=3,c=2,d=1.
因此矩阵A=.
6.(2012·
扬州调研)已知矩阵M=,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
解 由矩阵M的特征多项式f(λ)==
(λ-3)2-1=0,解得λ1=2,λ2=4,即为矩阵M的特征值.
设矩阵M的特征向量为,
当λ1=2时,由M=2,可得
可令x=1,得y=1,
∴α1=是M的属于λ1=2的特征向量.
当λ2=4时,由M=4,可得
取x=1,得y=-1,
∴α2=是M的属于λ2=4的特征向量.
分层训练B级
1.(2013·
南京模拟)求曲线C:
xy=1在矩阵M=
对应的变换作用下得到的曲线C1的方程.
解 设P(x0,y0)为曲线C:
xy=1上的任意一点,
它在矩阵M=对应的变换作用下得到点Q(x,y)
由=,得
解得
因为P(x0,y0)在曲线C:
xy=1上,所以x0y0=1.
所以×
=1,即x2-y2=4.
所以所求曲线C1的方程为x2-y2=4.
2.(2012·
南通调研)已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P′(-4,0),求:
(1)实数a的值;
(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
解
(1)由=,
所以2-2a=-4.所以a=3.
(2)由
(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为
f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4.
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.
当λ=-1时,⇒x+y=0.
所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为.
当λ=4时,⇒2x-3y=0.
所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
3.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值,及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系;
(3)求直线l:
x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程.
解
(1)设M=,则=8=,
故因=,故
联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,
故M=.
(2)由
(1)知,矩阵M的特征多项式为
f(λ)=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16,
故其另一个特征值为λ=2.
设矩阵M的另一个特征向量是e2=,
则Me2==2,解得2x+y=0.
(3)设点(x,y)是直线l上的任一点,其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′,y′),则=,
即x=x′-y′,y=-x′+y′,代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0,即x-y+2=0.
4.已知矩阵A=,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=.
(1)求矩阵A;
(2)若向量β=,计算A5β的值.
解
(1)A=.
(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2-5λ+6=0,得λ1=2,λ2=3,当λ1=2时,α1=,当λ2=3时,
得α2=.
由β=mα1+nα2,得解得m=3,n=1.
∴A5β=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λα1)+λα2=3×
25+35=.
二项式定理
一、填空题
1.(2011·
陕西卷改编)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是________.
解析 Tr+1=C(22x)6-r(-2-x)r=(-1)rC·
(2x)12-3r,r=4时,12-3r=0,故第5项是常数项,T5=(-1)4C=15.
答案 15
2.若二项式n的展开式中第5项是常数项,则正整数n的值可能为________.
解析 Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx,当r=4时,=0,又n∈N*,∴n=12.
答案 12
3.(2011·
天津改编)在6的二项展开式中,x2的系数为________.
解析 在6的展开式中,第r+1项为
Tr+1=C6-rr=C6-rx3-r(-2)r,
当r=1时为含x2的项,其系数是C5(-2)=-.
答案 -
4.已知8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是________.
解析 由题意知C·
(-a)4=1120,解得a=±
2,令x=1,得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.
答案 1或38
5.设n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为________.
解析 由已知条件4n-2n=240,解得n=4,
Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-,
令4-=1,得r=2,T3=150x.
答案 150
6.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于________.
解析 已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,则0=a0+a1+a2+a3+a4+a5,
令x=-1,则25=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
∴a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16.
则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
答案 -256
二、解答题
7.已知n,
(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
解
(1)∵C+C=2C,∴n2-21n+98=0.∴n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423=,T5的系数为C324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727=3432.
(2)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0.
∴n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,
∵12=12(1+4x)12,
∴ ∴9.4≤k≤10.4,
∴k=10.∴展开式中系数最大的项为T11,
T11=C·
2·
210·
x10=16896x10.
8.在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)试用组合数表示这个一般规律;
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
解
(1)C=C+C.
(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.
(3)设C∶C∶C=3∶4∶5,
由=,得=,
即3n-7r+3=0,①
即4n-9r-5=0②
解①②联立方程组得,n=62,r=27,
即C∶C∶C=3∶4∶5.
1.(2010·
四川卷)6的展开式中的第四项是________.
解析 6的展开式中第4项为T3+1=C23·
3=-.
2.(2011·
安徽卷)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11=________.
解析 Tr+1=Cx21-r(-1)r=(-1)rCx21-r,
由题意知a10,a11分别是含x10和x11项的系数,所以a10=-C,a11=C,∴a10+a11=C-C=0.
答案 0
浙江卷)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.
解析 对于Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r,
B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,∴a=2.
答案 2
4.(2011·
新课标全国卷改编)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为________.
解析 令x=1,由已知条件1+a=2,则a=1.5=C(2x)5+C(2x)4+C(2x)32+C(2x)2·
3+C(2x)4+5
=32x5-80x3+80x-40+10-,则常数项为40.
答案 40
5.(2012·
天一中学,淮阴中学,海门中学调研)把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第i行共有2i-1个正整数,设aij(i,j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数.
(1)求a69的值;
(2)用i,j表示aij;
(3)记An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),求证:
当n≥4时,An>
n2+C.
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
… … … … …
(1)解 a69=25+(9-1)=40.
(2)解 ∵数表中前(i-1)行共有1+2+22+…+2i-2=(2i-1-1)个数,则第i行的第一个数是2i-1,
∴aij=2i-1+j-1.
(3)证明 ∵aij=2i-1+j-1,则ann=2n-1+n-1(n∈N*),
∴An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]
=2n-1+,
当n≥4时,An=(1+1)n-1+>
C+C+C+C-1+=n2+C.
苏锡常镇调研)从函数角度看,组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{r|r∈N,r≤n}.
(1)证明:
f(r)=f(r-1);
(2)利用
(1)的结论,证明:
当n为偶数时,(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.
证明
(1)∵f(r)=C=,
又∵f(r-1)=C=,
∴f(r-1)=
=.
则f(r)=f(r-1)成立.
(2)设n=2k,
∵f(r)=f(r-1),f(r-1)>
0,
∴=.
令f(r)≥f(r-1),∴≥1.
则r≤k+(等号不成立).
∴r=1,2,…,k时,f(r)>
f(r-1)成立.
反之,当r=k+1,k+2,…,2k时,f(r)<
∴f(k)=C最大.
即(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.
学生归纳总结:
1:
这堂课你掌握了什么?
答:
。
学生对本次课的评定:
○特别满意○满意○一般○差
学生签字:
教师评定:
1、学生上次作业评价:
○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价:
○好○较好○一般○差
教师签字: