高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or133非not学案新人教a版选修31.docx

高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or133非not学案新人教a版选修31.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语13简单的逻辑联结词131且and132或or133非not学案新人教a版选修31

1.3　简单的逻辑联结词

1.3.1　且（and）

1.3.2　或（or）

1.3.3　非（not）

学习目标：

1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．（重点）2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．（难点）3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．（易错点）

[自主预习·探新知]

1．“且”

（1）定义[&%*@^]

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．

（2）真假判断

当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．[~@^#&]

2．“或”[&@*%^]

（1）定义

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．

（2）真假判断[@#%~&]

当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．

思考1：

（1）p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？

（2）若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？

[提示]　

（1）不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．

（2）p∨q是真命题，p∧q是假命题．

3．“非”

（1）定义

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．

（2）真假判断

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

思考2：

命题的否定与否命题的区别是什么？

[提示]　

（1）命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．[&*%^~]

（2）命题的否定（非p）的真假与原命题（p）的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．

4．复合命题：

用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．

复合命题的真假判断[~^%#@]

p

q

p∨q

p∧q

p

真

真

真

真

假

真

假

真

假

假

假

真

真

假

真

假

假

假

假

真

[基础自测][#&~%*]

1．思考辨析

（1）若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．（　　）

（2）若命题p为假，则p∧q一定为假．（　　）[@#%~^]

（3）“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．（　　）

（4）“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．（　　）[@*%~^]

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2．“xy≠0”是指（　　）

A．x≠0且y≠0

B．x≠0或y≠0

C．x，y至少一个不为0

D．x，y不都是0[~&%@#]

A　[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]

3．已知p，q是两个命题，若“（p）∨q”是假命题，则（　　）

【导学号：

97792023】[*&#~^]

A．p，q都是假命题

B．p，q都是真命题

C．p是假命题，q是真命题

D．p是真命题，q是假命题

D　[若（p）∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D.]

[合作探究·攻重难]

含有逻辑联结词的命题结构

　指出下列命题的形式及构成它的简单命题．

（1）方程x2－3＝0没有有理根；

（2）有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．

[解]　

（1）这个命题是“非p”形式的命题，其中

p：

方程x2－3＝0有有理根．

（2）这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：

有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：

有两个内角是45°的三角形是直角三角形．

（3）这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：

1是方程

x3＋x2－x－1＝0的根，q：

－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．

[规律方法]　1.判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．

2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．

[跟踪训练]

1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题．

（1）p：

梯形有一组对边平行，q：

梯形有一组对边相等；

（2）p：

－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：

－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.[%^&@#]

【导学号：

97792024】

[解]　

（1）p∧q：

梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

p∨q：

梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p：

梯形没有一组对边平行．

（2）p∧q：

－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p∨q：

－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p：

－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.[~&%@#]

含逻辑联结词命题的真假判断

　已知命题p：

方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：

函数f（x）＝x＋的最小值为4.给出下列命题：

①p∧q；②p∨q；③p∧（q）；④（p）∨（q）．

则其中真命题的个数为（　　）

A．1　　B．2　　　C．3　　D．4[&@%^*]

[思路探究]　→

→

[解析]　由于Δ＝（－2a）2－4×1×（－1）＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f（x）＝x＋<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧（q），（p）∨（q）是真命题，故选C.

[答案]　C

[规律方法]　含逻辑联结词命题真假的

判断方法及步骤

（1）我们可以用口诀记忆法来记忆：

“p且q”全真才真，一假必假；“p或q”全假才假，一真必真；“非p”与p真假相对．

（2）判断复合命题真假的步骤：

①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“p”；[@%#&^]

②判断其中的简单命题p，q的真假；

③根据真值表判断复合命题的真假．

[跟踪训练][%*&#^]

2．

（1）已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（q）；④（p）∨q中，真命题是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

C　[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③q为真命题，则p∧（q）为真命题，④p为假命题，则（p）∨q为假命题．][#~^@%]

（2）分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假.

【导学号：

97792025】

①p：

1∈{2,3}，q：

2∈{2,3}；

②p：

2是奇数，q：

2是合数；[@#&~%]

③p：

4≥4，q：

23不是偶数；

④p：

不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2

不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．[%@~*&]

[解]　①∵p是假命题，q是真命题，

∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．[%#@&^]

②∵p是假命题，q是假命题，

∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．

③∵p是真命题，q是真命题，

∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．

④∵p是真命题，q是假命题，[^#*%~]

∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题.

由复合命题的真假求参数的取值范围

[探究问题]

1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？

提示：

p为假命题时，参数的取值范围是∁RA.

2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时参数的取值范围分别是什么？

提示：

当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B.

当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B.

　已知p：

关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：

关于x的方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

[思路探究]

[解]　当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，解之得m>2，

当4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根为真时，16（m－2）2－16<0，解之得1

因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．

若p真q假，则所以m≥3.[*&%^@]

若p假q真，则所以1

所以m的取值范围为1

母题探究：

1.本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．[~#*%&]

[解]　由例题知，当p为真时，m>2，当q为真时11，

当p∧q为真命题时，2

2．（变条件）本例题中，若命题p改为“关于x的不等式ax>1（a>0，且a≠1）的解集是{x|x<0}，命题q改为“函数y＝lg（ax2－x＋a）的定义域为R”．其他不变，试求a的取值范围．[&*~^%]

[解]　根据关于x的不等式ax>1（a>0，且a≠1）的解集为{x|x<0}知00的解集为R，则解得a>.

因为p∨q为真命题，p∧q为假命题．

所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．

故或

解得01.

所以，a的取值范围是∪（1，＋∞）．[*@~#%]

[规律方法]　根据命题的真假求参数范围的步骤

1求出p、q均为真时参数的取值范围；

2根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；

3根据p、q的真假求出参数的取值范围.

[当堂达标·固双基]

1．若命题“p∧q”为假，且p为假，则（　　）

A．p∨q为假　　　　　B．q假

C．q真D．p假[~%@&*]

B　[由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.][@~%#^]

2．给出下列命题：

[&@^~#]

①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；[@&%#^]

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．

其中真命题的个数为（　　）

A．1　　B．2　　　C．3　　D．4

D　[对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝（－2）2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D.]

3．已知命题：

p：

对任意x∈R，总有2x>0；

q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q　　　　　　　B．p∧q

C．p∧qD．p∧q

D　[因为指数函数的值域为（0，＋∞），所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、p为假命题，q为真命题，p∧q、p∧q为假命题，p∧q为真命题，故选D.]

4．已知命题p：

函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是减函数；命题q：

函数g（x）＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取