5多项式插值的大体方式及其应用Word文档下载推荐.docx

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论文题目

多项式插值基本方法及其应用

学院名称

姓名

张宏亮

专业班级

第一指导教师

闫善文

第二指导教师

徐艳

课题类型

理论应用

毕业论文（设计）的内容摘要

本文主要对多项式插值的基本方法进行了总结和概括，将每一种方法都应用到具体的实例当中，并且给出了Matlab程序实现。

此外，在总结多项式插值基本方法的基础上，对于各种方法的优缺点给出了具体的比较与分析。

毕业论文（设计）基本要求及工作量要求

基本要求：

在毕业论文（设计）过程中，应大量查阅有关文献，深入了解插值与拟合的相关内容，较全面地总结插值与拟合的基本方法，并且能对课题研究中所存在的问题进行独立钻研、积极探索。

能够理论联系实际，采取严肃认真的科学态度进行实例研究。

最后保质保量地完成毕业论文的撰写和通过答辩。

工作量要求：

正文字数：

5000字以上。

查阅文献10篇以上，其中查阅与课题有关的外文文献2篇以上，并将其中的1篇文献的摘要的原文和译文附在附录中。

毕业论文（设计）的主要阶段计划（分前期、中期、后期）

前期：

查阅资料，完成开题报告；

中期：

整理资料，撰写论文，完成初稿，提交中期报告；

后期：

修改完善论文，准备答辩。

任务下发日期

2007．10

完成日期

系主任主管教学院长审批（签字）：

摘要

插值理论是数值积分、数值微分、数据拟合、解微分方程及数值分析应用方面的基础。

插值法的应用十分普遍，在查表和求值的计算进程中，能够依照已知数据构造插值函数来求得被插函数在某些点的精准值。

本文要紧对多项式插值的大体方式进行了总结和归纳，将每一种方式都应用到具体的实例当中，而且给出了Matlab程序实现。

另外，在总结多项式插值大体方式的基础上，关于各类方式的优缺点给出了具体的比较与分析。

关键词：

Lagrange插值；

Newton插值；

Hermite插值；

多项式；

Matlab

TheBasicMethodsandApplicationofthePolynomialInterpolation

Abstract

TheInterpolationtheoryisthebasictheoryforthenumericalintegration,numericaldifferential,datafitting,differentialequationsandtheapplicationofthenumericalanalysis.Interpolationiswide-applied.Whenconsultingthetablesandcalculating,theexactvalueoftheinterpolatedfunctioncanbeobtainedinsomepointsbasedonthegivenpapermainlysummarizesandgeneralizesthebasicmethodsofthepolynomialinterpolation,andeachmethodhasappliedtospecificexamples,towhichtheMatlabprogramhasalsobeengiven.Inaddition,theadvantagesanddisadvantagesofeachmethodarecomparedandanalyzeddetailedlyonthebasisofsummarizingthediscussedonesofpolynomialinterpolation.

Keywords:

Lagrangeinterpolation;

Newtoninterpolation;

Hermiteinterpolation;

Matlab

1预备知识

Weierstrass第必然理

在实变函数的数学分析中，最重要的函数类是持续函数类与持续的周期函数类。

是概念在某一闭区间上的一切持续函数所成的集合；

是概念在整个实轴上的以为周期的持续实函数全部所组成的集合。

此刻咱们来表达逼近论中第一条大体定理。

定理1（weierstrass第必然理）设，那么关于任意给定的，都存在如此的多项式，使得

.

Weierstrass第二定理

周期持续函数（不妨假定其周期为）的最简单逼近工具是如下三角多项式

若是其中的系数和不全为，那么称为阶三角多项式。

相应于Weierstrass第必然理，有如下的第二定理：

定理2（Weierstrass第二定理）设，那么对任意给定的，都有三角多项式存在，使得

.

最正确逼近定理

Bowel存在性定理对任给，均存在多项式，使得

.

如此的多项式称为于中的最正确逼近多项式。

Tchebyshev定理于中的最正确逼近多项式是唯一存在的，且是于中的最正确逼近多项式，必需且只须在上点数很多于的点列

Matlab基础知识

大体画图方式

1．大体二维图形

绘制二维图形最经常使用的是plot函数。

对不同的输入参数，该函数有不同的形式以实现不同的功能。

（1）

（2）

（3）

2．特殊坐标二维图形

极坐标曲线

Matlab用函数绘制极坐标曲线，该函数的挪用格式为：

其中和别离为角度向量和幅值向量，要求向量的长度相同，的内容和用法与函数大体一致。

二维图形处置

1．图形标注

在绘制图形的同时，能够对图形加上一些说明，如图形名称，坐标轴说明和某一部份的含义等等。

在Matlab中图形标注函数的挪用方式如下：

（图形名称）

（轴说明）

（图形说明）

（图例1，图例2，…）

其中和，函数别离用于说明图形和坐标轴的名称，函数在坐标处添加图形说明。

添加文本说明也可用函数，挪用该函数时，十字光标自动跟从鼠标移动，单击鼠标即可将文本放置在十字光标处。

如命令,即可放置字符串。

函数用于绘制曲线所用线形，颜色，或数据点标记图例，图例放置在图形空白处，用户还能够通过鼠标移动图例，将其放置到所希望的位置。

2．坐标操纵

绘制图形时，Matlab能够自动依照要绘制曲线数据的范围选择适合的坐标刻度，使得曲线能够尽可能清楚的显示出来。

因此，在一样情形下用户没必要选择坐标轴的刻度范围。

可是，若是用户对坐标系不中意，能够利用函数对其从头设定。

该函数的挪用格式为：

若是只给出前4个参数，那么Matlab依照给出的轴的最小值和最大值选择坐标系范围，以便绘制处适合的二维曲线。

若是给出了全数参数，那么系统依照给出的3个坐标轴的最小值和最大值选择坐标系范围，一样绘制出适合的三维图形。

函数功能丰硕，通常还有以下几种用法：

纵、横坐标轴采纳等长刻度

产生正方形坐标系（默以为矩形）

利用默许设置

取消坐标轴

显示坐标轴

3．图形窗口的分割

在实际应用中，常常需要在一个图形窗口内绘制假设干个独立的图形，这就需要对图形窗口进行分割。

分割后的图形窗口有假设干个画图区组成，每一个画图区能够成立独立的坐标系并绘制图形。

Matlab系统提供了函数，用来将当前图形窗口分割称假设干个画图区。

函数的挪用格式为：

该函数将当前图形窗口分成行列个画图区，区号行优先编号，且选定第个区为当前活动区。

在每一个画图区许诺不同的坐标系单独绘制图形。

2多项式插值的大体方式

拉格朗日插值多项式是求数值积分与常微分方程数值解的重要工具，理论上比较重要。

牛顿插值法也是一种典型的插值法，学习牛顿插值法第一要把握均差概念及其性质。

牛顿插值法正是应用均差的性质，克服了拉格朗日插值法的要紧缺点，即当插值结点增加、减少或是位置转变时，全数插值多项式都必需改变的缺点。

由于分段线性插值多项式具有较好的稳固性和收敛性，因此它更易应用。

分段线性插值法回答了“分点越多，插值多项式对函数的逼近程度是不是越好”的问题。

Hermite插值法能够保证插值函数在节点处与被插函数有相同的切线，这就大大提高了函数的逼近程度。

三次样条函数，能保证插值函数在插值节点处有持续的二阶导数，这就大大提高了插值函数的滑腻性，这种优良性决定了它在实际应用中的重要性。

通过样条函数的Matlab实现的例子和程序，能够对其有更深刻的体会。

下面给出相关的概念。

概念1：

设函数在区间上有概念，且已知在个结点上的值为，假设存在简单的函数，使成立，就称为关于结点的插值函数，点称为插值节点，包括插值节点的区间称为插值区间，而称为被插函数，求插值函数的方式称为插值法。

若是次数不超过次的代数多项式，即假设有：

（2-1）其中为实数，那么称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。

假设为分段的多项式，确实是分段插值。

Lagrange插值公式

Lagrange插值的大体原理：

设有个结点，为了构造他们的次插值多项式，先给出次插值基函数。

概念2：

假设次多项式在个节点上知足条件：

（2-2）

那么称这个次多项式为节点上的次插值基函数。

由和的情形令：

（2-3）

能够验证（2-3）知足条件（2-2），故为次插值基函数。

因此插值多项式能够表示为：

（2-4）

由的概念可知：

形如（2-4）的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。

拉格朗日插值余项：

其中（依托于x），。

Newton插值公式

拉格朗日插值多项式在理论分析中超级方便，因为它的结构紧凑，利用基函数就很容易患到插值函数。

可是拉格朗日插值多项式也有一些缺点，如当插值节点增加、减小或其位置转变时，整个插值多项式的结构都会改变，这无益于实际计算，增加了算法复杂度。

Newton插值的大体原理：

假设有个不同节点及函数在节点上的值为，克服拉格朗日插值多项式的缺点的有效方式之一是把插值多项式构造成如下形式：

（2-5）

其中系数为待定系数，可由插值条件确信。

依照均差概念，把看成上的一点，可得：

综合以上式子，把后一式带入前一式，可得：

其中

（2-6）（2-7）

由式（2-6）确信的多项式显然知足插值条件，且次数不超过。

式（2-5）的多项式中，令系数为：

那么将式（2-5）变成式（2-6），称为牛顿均差插值多项式。

牛顿均差插值多项式在计算量上比拉格朗日插值多项式节省很多，且便于应用于程序设计中，式（2-7）为牛顿插值的余项。

等距节点上的插值公式

关于给定的等距节点的数据，咱们能够灵活地运用插值余项极小化原理，给出适应具体需要的插值公式，一样说来，在左端点周围进行插值，宜用Newton向前插值公式，在右端点周围插值，宜用Newton向后插值公式，若是在插值区间中间进行插值，宜用带中心差分的插值公式，下面别离予以简要介绍。

Newton向前插值公式

设已知，需求于

处的近似值。

按余项极小化原理，插值节点应取。

注意差商与差分的关系，由Newton插值公式，取得

（2-8）

通常，称该公式为Newton向前插值公式。

Newton向后插值公式

设，由插值公式

（2-9）

可得Newton向后插值公