电动力学2教案.doc
《电动力学2教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学2教案.doc（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第二章静电场
本章主要研究静电场的一些求解方法。
由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。
因此，本章首先引进静电场的标量势函数—电势并讨论电势的一些基本特性。
然后讨论静电势方程的几种求解方法—分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。
静电场的基本特点
静电场：
静止电荷产生的磁场；
特点：
①，，静电场可单独存在。
②等均与t无关③不考虑永久磁体（）基本方程：
；
边值关系：
。
求介质分界面上的束缚电荷用：
[则]
电磁性质方程：
①均匀各向同性线性介质：
②静电平衡时的导体：
导体内部：
。
外部表面：
电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面。
§2.1静电势及其微分方程
一．静电场的标势
1．静电势的引入：
因为静电场为无旋场,即，所以可以引入标量函数，引入后
——静电场标势（简称电势）。
①的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定
②取负号是为了与电磁学讨论一致
③满足迭加原理
二．静电势的微分方程和边值关系
1．满足的方程
泊松方程：
其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。
导出过程：
拉普拉斯方程：
（适用于的区域）。
2．边值关系
（S为分界面）
（由1→2）
（1）两介质交接面上边值关系
证明：
（a）
P→Q积分为零，所以即。
（b）（为自由面电荷分布）
由
∵∴
（1）导体表面上的边值关系
由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。
将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系：
三．静电场的能量
1．一般方程：
能量密度（均匀各向同性线性介质）总能量
2．若已知总能量为，但不代表能量密度。
导出过程：
∵∽∽
∴，
该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。
§2.2唯一性定理
一．泊松方程和边界条件
V
S
假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。
设V内所求电势为，它们满足泊松方程
泊松方程或拉普拉斯方程（区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。
在数学上这称为给定边值条件的求解问题：
一般边界条件有两类：
①边界S上，为已知，若为导体=常数为已知。
②边界S上，为已知，若是导体要给定总电荷Q。
它相当于给定（）。
内边界条件由
边值关系给出：
法线方向，
在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。
导体上下边界条件为外边界条件。
对于V内两介质分界面上。
二．唯一性定理
1．均匀单一介质
当区域内分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。
1．介质分区均匀（不包含导体）
V内已知，成立，给定区域或
Q1
Q2
在分界面上，或
则V内场唯一确定。
（证明见书P．60）
2．均匀单一介质中有导体（证明见书P．62）
导体中，要求的是内的场。
Q
S
S
当和，已知或，（，）为已知，则内场唯一。
确定，
或。
三．唯一性定理的意义
（1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求指明了方向。
（2）更重要的是它具有十分重要的实用价值。
无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以加以修改。
四．应用举例
1．两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。
解：
外边界为无穷远，电荷分布在有限远
导体上Q给定，所以球外场唯一确定
对称性分析：
若，则（回到上例结果）。
若，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具有轴对称。
但是实际情况并非如此。
由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点必然与重合，所以介质分界面上，而。
在介质分界面上：
所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。
对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。
而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。
设试探解：
确定常数：
在介质分界面上∴
∵
∴
下半空间
上半空间
导体球面上面电荷分布：
下半球面上均匀分布
上半球面上均匀分布
束缚电荷分布：
从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分布的。
这种非均匀分布造成场的均匀分布。
从物理机制看：
当导体放入介质时，一开始均匀分布，产生的场是非球对称场，它在介质中产生束缚电荷，束缚电荷也产生一个场，但总场不满足静电场唯一性定理，因此导体表面电荷要重新分布。
达到静电平衡时，球外场均匀分布，满足唯一性定理，这时电荷分布不再是均匀的。
§2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
一拉普拉斯方程的适用条件
1．空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。
2．在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。
①若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势。
②若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。
则区域V中电势可表示为两部分的和
不满足，但使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。
但注意，边值关系还要用而不能用。
二解题步骤
1．选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状
参考点主要根据电荷分布是有限还是无限
2．分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解
3．根据具体条件确定常数
（1）外边界条件：
电荷分布有限
边界条件和边值关系是相对的。
导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定
（接地）
电荷分布无限，一般在均匀场中，
（直角坐标或柱坐标）
x
y
O
V
（2）内部边值关系：
介质分界面上
表面无自由电荷。
应用实例（习题课）
1．两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V
（与无关），一板接地，求两板间的电势和
解：
（1）边界为平面，故应选直角坐标系
下板接地，为参考点
（2）定性分析：
由于在处，常数，可考虑与无关。
（3）列出方程并给出解：
在区域，
（4）方程的解：
（5）定常数：
（6）结果：
显然满足和边界条件
常数，均匀场
2．半径a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。
x
y
z
o
r
θ
解：
电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面r=a处（即）。
选柱坐标系：
对称性分析：
①导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，一定与无关。
②柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿方向，可认为与z无关，
当r=a时，则不选择零点也不影响求场。
常数C的确定：
∵
∴
若选则
（）]
电场：
x
y
z
O
在表面上
3．一半径为a，介电常数为的无限长电介质圆柱，柱轴沿方向，沿方向上有一外加均匀电场，求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。
解：
（1）边界为柱面选柱坐标系
均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在
有限区域，例如可选在坐标原点
常数（或0）
（2）考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为，柱外为
它们分别满足。
解为：
（3）确定常数
①因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑、也相对x轴对称（为偶函数），所以、中不应包含项，故：
均为零。
②常数（或零），有限，故中不应有项，，（均匀场电势），因此中不应有方项（）（即得）
③时，
两边为任意值，前系数应相等（）
（4）解为
（5）求柱内电场：
∴仍沿x方向
∵∴
这是因为介质极化，束缚电荷主生的场与反向
（6）柱面上束缚面电荷分布
由
∴
两边为任意值，前系数应相等（）
（4）解为
（5）求柱内电场：
∴仍沿x方向
∵∴
这是因为介质极化，束缚电荷主生的场与反向
（6）柱面上束缚面电荷分布
由
∴
（或常数）
（7）若圆柱为导体，可采用上述方法重新求解，或令
4．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，
求空间各点的电势及球壳内外面上的感应电荷。
解：
（1）边界为球形，选球坐标系
电荷分布在有限区，选
（2）设壳外为2区，球壳内为1区，球外
（若将Q移到壳上，球接地为书中P67例题）
，球壳内
电荷在球上均匀分布，场具有球对称性，
与无关，
（3）确定常数
①
②
③导体壳为等势体
④在导体壳上
即
设内壳
外壳
∴
（4）解
（5）球壳上的感应电荷
壳外面
壳内面
以一结果均与高斯定理求解一致。
§2.4电象法
Q
Q
一．电象法的概念和适用条件
1．求解泊松方程的难度
区域无分布，适用。
对直角坐标无对称性，用球坐标具有轴对称，但边界为平面
区域有自由电荷，适用，但求解很困难。
导体球导体板
（导体表示电荷分布是不均匀的）
在许多特殊情况下可采用迭加法求解（如上节例6），对于空间存在点电荷的情况，原则上也能够求解（习题2）。
还有一些例子也可
采用该方法来求，
但求解不是难度极大，就是解不出来（如导体板情况）。
因为前面讲的实例大多是分界面电荷均匀分布，而许多情况分界面上电荷是非均匀分布的，造成场对称性很差。
2．唯一性定理保证下的不择手段
从物理上考虑，在唯一性定理保证下，可以采用试探解的方法。
特别是对于自由电荷仅为点电荷时，导体面上感应电荷分布可以等效地看作一个或几个点电荷。
3．电象法概念、条件
（1）电象法：
用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。
（2）条件：
a）所求区域内只能有少许几个点电荷。
（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。
）
b）导体边界面形状规则，具有一定对称性。
c）给定边界条件。
要求：
a）做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。
泊松方程不能改变。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。
c）一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。
d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
二．应用举例
1．接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。
Q
Q/
P
z
解：
二．应用举例
（1）分析：
左半空间
显然满足这个解。
由唯一性定理保证
右半空间，Q处在（0，0，a）点，其余点
边界
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间z轴上。
设电量为，位置为（0，0，）
∴
（2）由边界条件确定和，。
（要在左半空间）
唯一解是
（3）讨论：
（a）导体面上
升级会员 