历年高考真题分类汇编共14套含答案精品打包下载文档格式.docx
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（3）证明：
若数列A满足an－an－1≤1（n＝2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN－a1.
20．解：
（1）G（A）的元素为2和5.
因为存在an使得an>
a1，所以{i∈N*|2≤i≤N，ai>
a1}≠∅.
记m＝min{i∈N*|2≤i≤N，ai>
a1}，
则m≥2，且对任意正整数k<
m，ak≤a1<
am.
因此m∈G（A），从而G（A）≠∅.
当aN≤a1时，结论成立．
以下设aN>
a1.
由
（2）知G（A）≠∅.
设G（A）＝{n1，n2，…，np}，n1<
n2<
…<
np.
记n0＝1，则an0<
an1<
an2<
anp.
对i＝0，1，…，p，记Gi＝{k∈N*|ni<
k≤N，ak>
ani}．
如果Gi≠∅，取mi＝minGi，则对任何1≤k<
mi，ak≤ani<
ami.
从而mi∈G（A）且mi＝ni＋1.
又因为np是G（A）中的最大元素，所以Gp＝∅.
从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp.
对i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1≤ani.
因此ani＋1＝ani＋1－1＋（ani＋1－ani＋1－1）≤ani＋1.
所以aN－a1≤anp－a1＝（ani－ani－1）≤p.
因此G（A）的元素个数p不小于aN－a1.
1．A1[2016·
江苏卷]已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2<
3}，则A∩B＝________．
1．{－1，2} [解析]由题意可得A∩B＝{－1，2}．
20．A1、D3、D5[2016·
江苏卷]记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T＝∅，定义ST＝0；
若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：
T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：
ST<
ak＋1；
（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：
SC＋SC∩D≥2SD.
（1）由已知得an＝a1·
3n－1，n∈N*.
于是当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又ST＝30，所以30a1＝30，即a1＝1，
故数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
因为T⊆{1，2，…，k}，an＝3n－1>
0，n∈N*，
所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝（3k－1）<
3k.
因此，ST<
ak＋1.
下面分三种情况证明．
①若D是C的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.
②若C是D的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集．
令E＝C∩（∁UD），F＝D∩（∁UC），则E≠∅，F≠∅，E∩F＝∅.
于是SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，进而由SC≥SD，得SE≥SF.
设k是E中最大的数，l为F中最大的数，则k≥1，l≥1，k≠l.
由
（2）知，SE<
ak＋1，于是3l－1＝al≤SF≤SE<
ak＋1＝3k，所以l－1<
k，即l≤k.
又k≠l，故l≤k－1，
从而SF≤a1＋a2＋…＋al＝1＋3＋…＋3l－1＝≤＝≤，
故SE≥2SF＋1，所以SC－SC∩D≥2（SD－SC∩D）＋1，
即SC＋SC∩D≥2SD＋1.
综合①②③得，SC＋SC∩D≥2SD.
1．A1，E3[2016·
全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<
0}，B＝{x|2x－3>
0}，则A∩B＝（ ）
A．（－3，－）
B．（－3，）
C．1，
D.，3
1．D [解析]集合A＝（1，3），B＝（，＋∞），所以A∩B＝（，3）.
全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>
0}，则S∩T＝（ ）
A．[2，3]B．（－∞，2]∪[3，＋∞）
C．[3，＋∞）D．（0，2]∪[3，＋∞）
1．D [解析]∵S＝{x|x≥3或x≤2}，∴S∩T＝{x|0<
x≤2或x≥3}．
四川卷]设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
1．C [解析]由题可知，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数为5.
2．A1[2016·
全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<
0，x∈Z}，则A∪B＝（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2，3}
D．{－1，0，1，2，3}
2．C [解析]∵B＝{x|（x＋1）（x－2）<
0，x∈Z}＝{x|－1<
2，x∈Z}，∴B＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}．
山东卷]设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<
0}，则A∪B＝（ ）
A．（－1，1）B．（0，1）
C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）
2．C [解析]∵A＝{y|y>
0}，B＝{x|－1<
1}，∴A∪B＝（－1，＋∞）．
天津卷]已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1}B．{4}
C．{1，3}D．{1，4}
1．D [解析]A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，7，10}，∴A∩B＝{1，4}．
浙江卷]已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（ ）
A．[2，3]B．（－2，3]
C．[1，2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）
1．B [解析]易知∁RQ＝{x|－2<
2}，则P∪（∁RQ）＝{x|－2<
x≤3}，故选B.
A2命题及其关系、充分条件、必要条件`
4．A2，F1[2016·
北京卷]设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．D [解析]若|a|＝|b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为菱形，a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；
反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故选D.
7．A2，E5[2016·
四川卷]设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
7．A [解析]如图，（x－1）2＋（y－1）2≤2①表示圆心为（1，1），半径为的圆及其内部；
②表示△ABC及其内部．
实数x，y满足②，则必然满足①，反之不成立.
故p是q的必要不充分条件．
6．G3，A2[2016·
山东卷]已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
6．A [解析]当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；
但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
5．D3、A2[2016·
天津卷]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<
0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<
0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
5．C [解析]设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2（1＋q）<
0，即q<
－1，故选C.
15．A2[2016·
上海卷]设a∈R，则“a>
1”是“a2>
1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
15．A [解析]由a>
1，得a2>
1；
由a2>
1，得a>
1或a<
－1.所以“a>
1”的充分非必要条件．
A3基本逻辑联结词及量词
4．A3[2016·
浙江卷]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<
x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<
4．D [解析]由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<
x2”．
A4单元综合
3．[2016·
衡阳一模]设集合A＝，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<
2B．a>
－2
C．a>
－1D．－1<
a≤2
3．C [解析]结合数轴可知，只要a>
－1，就可使A∩B≠∅.
10．[2016·
贵州普通高中模拟]已知双曲线－＝1（a>
0）的离心率为e，则“e>
”是“0<
a<
10．B [解析]由e＝>
，得0<
2，所以当0<
1时，一定有e>
，反之不成立．故“e>
1”的必要不充分条件．
8．[2016·
东莞模拟]设p，q是两个命题，若綈（p∨q）是真命题，则（ ）
A．p是真命题且q是假命题
B．p是真命题且q是真命题
C．p是假命题且q是真命题
D．p是假命题且q是假命题
8．D [解析]綈（p∨q）是真命题⇔p∨q是假命题⇔p，q均为假命题．
B单元函数与导数
B1 函数及其表示
5．B1[2016·
江苏卷]函数y＝的定义域是________．
5．[－3，1] [解析]令3－2x－x2≥0可得x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．
11．B1、B4[2016·
江苏卷]设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1）上，f（x）＝其中a∈R.若f（－）＝f（），则f（5a）的值是________．
11．－ [解析]因为f（x）的周期为2，所以f（－）＝f（－）＝－＋a，f（）＝f（）＝，
即－＋a＝，
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