回归分析案例Word格式.docx
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Matlab实现：
h=[0.750.850.951.081.121.161.351.511.551.61.631.671.711.781.85];
m=[101215172022354148505154596675];
plot（x,y,'
*'
）
可令：
求系数可用p=polyfit（x,y,n）,其中,n=1,结果：
p=[2.3,2.823]由此得d=16.8,a=2.3,即有经验公式：
。
也直接利用Matlab统计工具箱中的命令regress求解，使用格式：
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,alpha）alpha为置信水平，r为残差向量，stats为回归模型的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程的决定系数，第二个是F统计量值，第三个是与F统计量对应的概率值。
上例可如下操作：
y=log（m）'
;
x=[ones（length（y）,1）,log（h）'
];
[b,bint,r,rint,stat]=regress（y,x）
b=
2.8228
2.3000
stat=
110240.0000
残差分析：
rcoplot（r,rint）
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
例2：
施肥效果分析（1992建模赛题）
磷肥施用量（吨/公顷）与土豆产量：
磷肥施用量
24
49
73
98
147
196
245
294
342
土豆产量
33.46
32.47
36.06
37.96
41.04
40.09
41.26
42.17
40.36
42.73
y（0）、y（24）是病态数据，以线性插值代替：
34.76
氮肥施用量（吨/公顷）与土豆产量：
氮肥施用量
1）模型选择:
对于磷肥-----土豆：
可选择函数
或威布尔函数
对于氮肥-----土豆：
可选择函数
2）模型的参数估计:
可如下操作：
x=[03467101135202259336404471]'
y=[15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75]'
X=[ones（length（y）,1）,x,x.^2];
[b,bint,r,rint,stat]=regress（y,X）
14.7416
0.1971
-0.0003
0.9863251.79710.0000
即
拟合曲线图：
3）显著性检验:
（仅以氮肥-----土豆模型为例说明）
A）:
回归方程的显著性检验:
检验的概率p=0,说明方程是高度显著的.
B）:
回归系数的的显著性检验:
对:
检验统计量2539.10825802353
检验统计量-1004341.84343142
都有,所以,均应拒绝原假设,认为系数显著地不为0.
4）残差诊断:
标准化残差图如下
标准化残差基本上均匀分布于-2至2之间,可以认为模型拟合是合理的.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
案例：
牙膏的销售量
某牙膏制造企业要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部收集了过去30个销售周期公司生产的牙膏的销售量、销售价格、广告费用，以及同期其他厂家生产的同类牙膏的平均销售价格。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制定价格策略和广告投入策略提供数量依据。
销售周期
公司销售价格（元）
其他厂家平均
价格（元）
广告费用（百万元）
价格差（元）
销售量（百万支）
1
3.85
3.80
5.50
-0.05
7.38
2
3.75
4.00
6.75
0.25
8.51
3
3.70
4.30
7.25
0.60
9.52
4
0.00
7.50
5
3.60
7.00
9.33
6
6.50
0.20
8.28
7
0.15
8.75
8
5.25
0.05
7.87
9
3.65
-0.15
7.10
6.00
8.00
11
3.90
4.10
7.89
6.25
0.10
8.15
13
0.40
9.10
14
4.20
6.90
0.45
8.86
6.80
0.35
8.90
16
0.30
8.87
0.50
9.26
18
9.00
19
7.95
21
7.65
-0.10
7.27
23
3.55
8.50
25
26
4.25
9.21
27
8.27
28
5.75
7.67
29
5.80
7.93
30
0.55
分析与假设：
在购买同类产品的牙膏时，顾客会在意不同品牌之间的价格差异，而不是价格本身。
记牙膏销售量为y，价格差为，广告费，其它厂家平均价格，公司销售价格，。
基本模型：
先作出对及对的散点图，图中对线性关系明显：
对用二次函数拟合：
综合以上分析，建立如下模型：
（1）
模型求解：
利用Matlab统计工具箱的命令regress，格式：
[b,bint,r,rint,stat]=regress（y,X,alpha）
其中：
X是数据矩阵。
结果：
参数
参数估计值
参数置信区间
17.3244
[5.728228.9206]
1.3070
[0.68291.9311]
-3.6956
[-7.49890.1077]
0.3486
[0.03790.6594]
销售量预测方程：
以及预测区间。
取元，百万元，估计百万支，95%的预测区间[7.8230,8.7636]
模型改进：
上述模型中，是假定价格差与广告费对牙膏销售量y的影响是相互独立的，据直觉和经验可以猜想，与的交互作用会对牙膏销售量y有影响，模型修改为：
（2）
29.1133
[13.701344.5252]
11.1342
[1.977820.2906]
-7.6080
[-12.6932-2.5228]
0.6712
[0.25381.0887]
-1.4777
[-2.8518-0.1037]
有改善。
进一步的讨论为进一步了解与的交互作用，考察模型
（2）的预测方程
如果取，可得
（3）
（4）
图形如下
解释：
完全二次多项式模型
可直接利用MATLAB统计箱中命令rstool求解。
格式rstool（X,y）其中X=[x1x2]为数据矩阵。
酶促反应
问题：
某生化系学生为研究嘌呤酶素在某项酶促反应中对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响，设计了两个实验，一个实验中所使用的酶是经过嘌呤酶素处理的，而另一个实验中所使用的酶是没有经过嘌呤酶素处理的，试建立一个合适的数学模型，来反映这项酶促反应的速度与底物浓度以及嘌呤酶素处理与否之间的关系
底物浓度（ppm）
0.02
0.06
0.11
0.22
0.56
1.10
反应速度
处理
76
47
97
107
123
139
159
152
191
201
207
200
未处理
67
84
86
115
131
124
144
158
160
/
记酶促反应的速度为，底物浓度为，二者之间的关系写作，由问题背景知：
当底物浓度较小时，反应速度与浓度成正比（一级反应）；
而当底物浓度很大，渐进饱和时，反应速度趋于一个固定值（零级反应），下面两个简单模型具有这种性质：
Michaelis-Menten模型
指数增长模型
以模型
（1）来拟合。
散点图如下：
线性化模型模型
（1）可通过如下的变量代换化为线性模型：
对经过嘌呤酶素处理的实验数据，应用模型（3），作线性回归，统计结果如下：
置信区间
0.0051
[0.00350.0067]
0.0002
[0.00020.0003]
从而可算出
拟合欠佳！
非线性模型及求解可以用非线性回归
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