版两角和与差正弦余弦和正切公式.docx

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版两角和与差正弦余弦和正切公式

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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[考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

（2）cos（α±β）＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

（3）tan（α±β）＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）sin2α＝2sinαcosα；

（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

（3）tan2α＝.

3．有关公式的变形和逆用

（1）公式T（α±β）的变形：

①tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tan_αtan_β）；

②tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tan_αtan_β）．

（2）公式C2α的变形：

①sin2α＝（1－cos2α）；

②cos2α＝（1＋cos2α）．

（3）公式的逆用：

①1±sin2α＝（sinα±cosα）2；

②sinα±cosα＝sin.

4．辅助角公式

asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．（　　）

（2）在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．（　　）

（3）公式tan（α＋β）＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ），且对任意角α，β都成立．（　　）

（4）公式asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（教材改编）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（　　）

A．－　　　B.　　　

C．－　　　D.

D　[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝sin30°＝，故选D.]

3．（2016·全国卷Ⅲ）若tanθ＝－，则cos2θ＝（　　）

A．－B．－

C.D.

D　[∵cos2θ＝＝.

又∵tanθ＝－，∴cos2θ＝＝.]

4．（2017·云南二次统一检测）函数f（x）＝sinx＋cosx的最小值为________．

－2　[函数f（x）＝2sin的最小值是－2.]

5．若锐角α，β满足（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，则α＋β＝________.

　[由（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，

可得＝，即tan（α＋β）＝.

又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.]

三角函数式的化简

（1）化简：

＝________.

（2）化简：

.

（1）2cosα　[原式＝＝2cosα.]

（2）原式＝

＝＝＝cos2x.

[规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

[变式训练1]　化简sin2＋sin2－sin2α＝________.

　[法一：

原式＝＋－sin2α

＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.

法二：

令α＝0，则原式＝＋＝.]

三角函数式的求值

角度1　给角求值

（1）＝（　　）

A.B.

C.D.

（2）sin50°（1＋tan10°）＝________.

（1）C　

（2）1　[

（1）原式＝＝

＝＝.

（2）sin50°（1＋tan10°）

＝sin50°

＝sin50°×

＝sin50°×

＝＝＝＝1.]

角度2　给值求值

（1）（2016·全国卷Ⅱ）若cos＝，则sin2α＝（　　）

A.B.

C．－D．－

（2）（2016·安徽十校联考）已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝

（　　）

A.B.

C.D.

（1）D　

（2）A　[

（1）∵cos＝，

∴sin2α＝cos＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－.

（2）由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2（1－2sin2α），即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2（舍去）或sinα＝.∵α为锐角，∴cosα＝，∴sin＝×＋×＝，故选A.]

角度3　给值求角

　已知sinα＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于（　　）

A.B.

C.D.

C　[∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.

又sin（α－β）＝－，∴cos（α－β）＝.

又sinα＝，∴cosα＝，

∴sinβ＝sin[α－（α－β）]

＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）

＝×－×＝.

∴β＝.]

[规律方法]　1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．

2．“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

3．“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.

三角变换的简单应用

　已知函数f（x）＝sin2x－sin2，x∈R.

【导学号：

31222124】

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

[解]　

（1）由已知，有

f（x）＝－

＝－cos2x

＝sin2x－cos2x＝sin.

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.5分

（2）因为f（x）在区间上是减函数，

在区间上是增函数，

且f＝－，f＝－，f＝，

所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.12分

[规律方法]　1.进行三角恒等变换要抓住：

变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．

2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

[变式训练2]　

（1）（2016·山东高考）函数f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）的最小正周期是（　　）

A.B．π

C.D．2π

（2）（2014·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx的最大值为________．

（1）B　

（2）1　[

（1）法一：

∵f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）

＝4

＝4sincos＝2sin，

∴T＝＝π.

法二：

∵f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）

＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx

＝sin2x＋cos2x

＝2sin，

∴T＝＝π.故选B.

（2）f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx

＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx

＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin（x－φ）．

∴f（x）max＝1.]

[思想与方法]

三角恒等变换的三种变换角度

（1）变角：

设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，β＝－，＝－.

（2）变名：

尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．

（3）变式：

对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．

[易错与防范]

1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．

2．计算形如y＝sin（ωx＋φ），x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．

课时分层训练（二十一）

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．已知sin2α＝，则cos2等于（　　）

【导学号：

31222125】

A.　　　　B.　　　　

C.　　　　D.

A　[因为cos2＝

＝＝＝＝，故选A.]

2.等于（　　）

A．－B.

C.D．1

C　[原式＝

＝＝＝.]

3．（2017·杭州二次质检）函数f（x）＝3sincos＋4cos2（x∈R）的最大值等于

（　　）

A．5B.

C.D．2

B　[由题意知f（x）＝sinx＋4×＝sinx＋2cosx＋2≤＋2＝，故选B.]

4．（2016·福建师大附中月考）若sin＝，则cos＝（　　）

A．－B．－

C.D.

A　[cos＝cos

＝－cos＝－

＝－＝－.]

5．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（　　）

【导学号：

31222126】

A.B.

C.D.

D　[依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β）＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，

故cos（α－β）＝＝，

而cosα＝，∴sinα＝，

于是sinβ＝sin[α－（α－β）]

＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）

＝×－×＝.故β＝.]

二、填空题

6.________.

　[＝

＝＝＝.]

7．（2016·吉林东北师大附中等校联考）已知0＜θ＜π，tan＝，那么sinθ＋cosθ＝________.

－　[由tan＝＝，解得tanθ＝－，即＝－，∴cosθ＝－sinθ，

∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.

∵0＜θ＜π，∴sinθ＝，∴cosθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.]

8．化简＋2＝________.

【导学号：

31222127】

－2sin4　[＋2

＝＋2

＝＋2

＝－2cos4＋2（cos4－sin4）＝－2sin4.]

三、解答题

9．已知α∈，且sin＋cos＝.

（1）求cosα的值；

（2）若sin（α－β）＝－，β∈，求cosβ的值．

[解]　

（1）因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又＜α＜π，所以cosα＝－.5分

（2）因为＜α＜π，＜β＜π，

所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.7分

又sin（α－β）＝－，得cos（α－β）＝.

cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）

＝－×＋×＝－.12分

10．已知函数f（x）