第八章空间解析几何与向量代数Word文档格式.docx

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Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ。

●点的坐标

●空间两点之间的距离：

设空间两点

，则

例1求证以

、

三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

例2设P在x轴上,它到

的距离为到点

的距离的两倍,求点P的坐标.

例3求点

到

轴的距离。

2．向量的概念

●既有大小又有方向的量称为向量（矢量），记为

，

，如力、位移、速度等；

●向量的大小称为向量的模，记作

或

；

模等于1的向量为单位向量；

模为零的向量为零向量；

●向量单位化：

●两向量平行：

两向量方向相同或方向相反，记

●两向量相等：

方向相同且模相等，记

3．向量的线性运算

●加：

●减：

●数乘向量：

与

同向；

反向；

，它的方向任意的。

为

的负向量，它们大小相等，方向相反。

●线性运算性质：

。

例1化简

例2在平行四边形ABCD中,设

试用

和

表示向量

这里M是平行四边形对角线的交点。

例3证明：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4．向量的坐标表示

●坐标式：

●分量式：

●设空间两点的坐标为

的坐标表示式为：

模为

5。

向量运算的坐标表示

设向量

●

●向量的夹角：

）

●与

同向的单位向量：

●方向余弦：

且

例4设

是空间的两点，向量

，写出

的坐标表示式以及它的模与方向角。

（教材P20）

例5已知两点

，求与向量

平行的向量的单位向量

.

例6已知两点

计算向量

的模、方向余弦和方向角.

例7设点

位于第

卦限,向径

轴、

轴的夹角依次为

，且

求点

的坐标.

例8已知三角形的三个顶点为

，求该三角形的中线向量

以及线段

上的三等分点

的坐标。

思考与练习

1.已知平行四边形ABCD的对角线

表示平行四边形四边上对应的向量.

2.在

中,D是BC上的一点,若

证明D是BC的中点.

3.设有向量

已知

它与x轴和y轴的夹角分别为

如果

的坐标为（1,0,3）,求

4.在x轴上取定一点O作为坐标原点.设A,B是x轴上坐标依次为

的两个点,

是与x轴同方向的单位向量,证明

第二节向量的数量积与向量积

通过本章节的学习,要求:

1.掌握两向量的数量积；

2.掌握两向量的向量积；

3.掌握两向量垂直、平行的条件。

（二）教学内容安排

1．数量积：

（1）定义；

（2）坐标式；

（3）向量的夹角；

（4）性质；

2．向量积：

（3）性质；

3．两向量平行、垂直的充要条件：

（1）垂直；

（2）平行。

（三）教学重点与难点

数量积、向量积的运算；

向量的投影。

1．两向量的数量积（点积、内积）

●定义：

的夹角：

●向量

在向量

上的投影：

●性质：

1）交换律：

2）分配律：

3）结合律：

例1已知

求

（1）

（2）

（3）

的夹角

（4）

在

上的投影。

2．两向量的向量积（叉积、外积）

，其中

，方向垂直于

确定的平面，并且

符方向合右手法则；

2）分配律

3）结合律

（

为实数）.

例2已知

求：

3．两向量平行、垂直的条件

平行的充要条件：

垂直的充要条件：

例3证明向量

与向量

垂直.

垂直,

垂直,求

之间的夹角

例5设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的流速均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量。

计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P（液体的密度为

）.

例6求与

都垂直的单位向量.

例7在顶点为

的三角形中,求AC边上的高BD.

例8设向量

两两垂直,伏隔右手规则,且

计算

例9设刚体以等角速度

绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.

例10利用向量积证明三角形正弦定理.

1.已知向量

证明

2.已知

两两垂直,且

的长度与它和

的夹角.

第三节平面及其方程

1．掌握各种形式的平面方程，并会实行它们之间的相互转化；

2．掌握判断空间两平面关系的充要条件，会求两平面的夹角；

3．会求空间任一点到平面的距离。

1．平面及其方程：

点法式、一般式、截距式、平面束。

2．空间两平面与平面关系：

平行、垂直、重合、两平面夹角。

3．空间点到平面的距离。

平面用其各种形式的方程

空间两平面之间的关系。

平面是空间中最简单而且最重要的曲面.本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质。

1．平面及其方程

●点法式：

已知平面的法向量

及平面上点

，则该平面方程为：

●一般式：

注：

三变量

前面的系数

即为平面法向量

的三个坐标

;

若

中有若干个为零（不全为零）则表示平面的特殊位置，具体参见教材。

●截距式：

设平面与三个坐标轴的交点坐标分别为

，即与三坐

标轴截距分别为

●通过直线L：

的平面束方程：

例1求过点

且与平面

平行的平面方程.（点法式）

例2求过点

的平面方程.（点法式）

例3求通过

轴和点

的平面方程.（一般式）

例4设平面过原点及点

，且与平面

垂直，求此平面方程.（一般式）

例5求平行于平面

而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.（截距式）

2．空间两平面与平面关系

设

●两平面平行：

●两平面垂直：

●两平面重合：

●空间两平面的夹角（一般不取钝角）余弦

例6研究以下各组里两平面的位置关系:

（1）

（2）

例7求平面II,使其满足:

（1）过

轴;

（2）II与平面

夹角为

例8求经过两点

垂直的平面的方程.

3．空间点到平面的距离

平面外一点

到平面

的距离：

例9求两平行平面

：

之间的距离

例10求平行于平面

且与球面

相切的平面

的方程.

1.若平面

与平面

的夹角为

求

2.求通过点

且垂直于平面

的平面方程.

第四节空间直线及其方程

（四）教学目的

4．掌握各种形式的直线方程，并会实行它们之间的相互转化；

5．掌握判断空间两直线关系的充要条件，会求两直线的夹角；

（五）教学内容安排

1．空间直线及其方程：

对称式、参数式、一般式。

2．空间两直线关系：

平行、垂直、两直线之间的夹角。

3．空间直线与平面的关系：

平行、垂直。

（六）教学重点与难点

直线及其各种形式的方程

空间两直线之间的关系。

内容概要

4．空间直线及其方程

●对称式（点向式）：

设直线的方向向量为

，且过点

，则直线方程为

●参数式：

令

，得

（

为参数）

（即为两平面的交线）

●将直线的一般式

化为对称式的步骤：

1）先写出平面的法向量：

2）求出直线的方向向量

3）在上述方程中可令

为一常数（一般令为“0”比较方便），将方程化为二元一次方程求得另二个变量的解，由此得到直线上一点

4）从而得到直线的对称式方程为：

中有一为0（例

）可理解直线方程为

例1求满足下列条件的直线方程

（1）过两点

（2）过点

垂直；

（3）过点

且与直线

平行；

（4）过点

且与两个平面

的交线平行的直线方程.

例3一直线过点

且与y轴垂直相交,求其方程.

例4用对称式方程及参数方程表示直线

5．空间两直线的关系

●两直线平行

●两直线垂直：

●两直线夹角（一般不取钝角）余弦：

例5判定下列两直线的位置关系

6．空间直线与平面的关系

设平面方程

直线方程

●平面与直线平行：

●平面与直线垂直：

●平面与直线夹角：

称直线与它在平面上的投影直线的夹角

为直线与平面的夹角。

例6判定下列直线与平面的位置关系