故wB（）E．故z=（（a1）w+y）/aE，因此，B（x）E．所以xint（E）．
（2）因int（E）=E，故有cl（int（E））cl（E）．下面证明相反的包含关系．
若xcl（E），则>0，存在yE，使得||xy||
因ny/（n+1）y（n）．故存在N+，使得||Ny/（N+1）y||
令z=Ny/（N+1），则zE，且P（z）N/（N+1）<1，
由
（1）知zint（E）．而||zx||||zy||+||yx||
故xcl（int（E）），因此cl（E）cl（int（E））所以cl（int（E））=cl（E）．
1.5.3证明：
因为C是紧集，所以C是闭集．
因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．
而T（C）C，故T（C）列紧．
于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．
[Schauder定理：
B*空间中闭凸集C上使T（C）列紧的连续自映射T必有不动点]
1.5.4
1.5.5证明：
设C={x=（x1,x2,...,xn）n|1inxi=1，xi0（i=1,2,...,n）}．
则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．
因为xC，xi不全为0，而aij>0，故Ax的各分量也非负但不全为零．
xC，设f（x）=（Ax）/（1in（Ax）i），则f（x）C．
容易验证f:
CC还是连续的．
由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0C．
即f（x0）=x0，也就是（Ax0）/（1in（Ax0）i）=x0．
令=1in（Ax0）i，则有Ax0=x0．
1.5.6证明：
设B={uC[0,1]|[0,1]u（x）dx=1，u（x）0}，
则B是C[0,1]中闭凸集．
设max（x,y）[0,1][0,1]K（x,y）=M，min（x,y）[0,1][0,1]K（x,y）=m，
[0,1]（[0,1]K（x,y）dy）dx=N，maxx[0,1]|[0,1]K（x,y）dy|=P．
令（Su）（x）=（[0,1]K（x,y）u（y）dy）/（[0,1]（[0,1]K（x,y）u（y）dy）dx）
则[0,1]（Su）（x）dx=1，u（x）0；
即SuB．因此S是从B到B的映射．
u,vB，
||[0,1]K（x,y）u（y）dy[0,1]K（x,y）v（y）dy||
=||[0,1]K（x,y）（u（y）v（y））dy||
=maxx[0,1]|[0,1]K（x,y）（u（y）v（y））dy|
M·||uv||；
因此映射u[0,1]K（x,y）u（y）dy在B上连续．
类似地，映射u[0,1]（[0,1]K（x,y）u（y）dy）dx也在B上连续．
所以，S在B上连续．
下面证明S（B）列紧．
首先，证明S（B）是一致有界集．uB，
||Su||=||（[0,1]K（x,y）u（y）dy）/（[0,1]（[0,1]K（x,y）u（y）dy）dx）||
=maxx[0,1]|[0,1]K（x,y）u（y）dy|/（[0,1]（[0,1]K（x,y）u（y）dy）dx）
（M·[0,1]u（y）dy|/（m[0,1]（[0,1]u（y）dy）dx）=M/m，
故S（B）是一致有界集．
其次，证明S（B）等度连续．uB，t1,t2[0,1]，
|（Su）（t1）（Su）（t2）|
=|[0,1]K（t1,y）u（y）dy[0,1]K（t2,y）u（y）dy|/（[0,1]（[0,1]K（x,y）u（y）dy）dx）
[0,1]|K（t1,y）K（t2,y）|u（y）dy/（m[0,1]（[0,1]u（y）dy）dx）
（1/m）·maxy[0,1]|K（t1,y）K（t2,y）|
由K（x,y）在[0,1][0,1]上的一致连续性，
>0，存在>0，使得（x1,y1）,（x2,y2）[0,1]，只要||（x1,y1）（x2,y2）||<，
就有|K（x1,y1）K（x2,y2）|故只要|t1t2|<时，y[0,1]，都有|K（t1,y）K（t2,y）|此时，|（Su）（t1）（Su）（t2）|（1/m）·maxy[0,1]|K（t1,y）K（t2,y）|
（1/m）·m=．
故S（B）是等度连续的．
所以，S（B）是列紧集．
根据Schauder不动点定理，S在C上有不动点u0．
令=（[0,1]（[0,1]K（x,y）u0（y）dy）dx．
则（Su0）（x）=（[0,1]K（x,y）u0（y）dy）/=（Tu0）（x）/．
因此（Tu0）（x）/=u0（x），Tu0=u0．
显然上述的和u0满足题目的要求．
1.6.1（极化恒等式）证明：
x,yX，q（x+y）q（xy）=a（x+y,x+y）a（xy,xy）
=（a（x,x）+a（x,y）+a（y,x）+a（y,y））（a（x,x）a（x,y）a（y,x）+a（y,y））
=2（a（x,y）+a（y,x）），
将iy代替上式中的y，有
q（x+iy）q（xiy）=2（a（x,iy）+a（iy,x））=2（ia（x,y）+ia（y,x）），
将上式两边乘以i，得到iq（x+iy）iq（xiy）=2（a（x,y）a（y,x）），
将它与第一式相加即可得到极化恒等式．
1.6.2证明：
若C[a,b]中数||·||是可由某积（·,·）诱导出的，
则数||·||应满足平行四边形等式．
而事实上，C[a,b]中数||·||是不满足平行四边形等式的，
因此，不能引进积（·,·）使其适合上述关系．
数||·||是不满足平行四边形等式的具体例子如下：
设f（x）=（x–a）/（b–a），g（x）=（b–x）/（b–a），则||f||=||g||=||f+g||=||f–g||=1，
显然不满足平行四边形等式．
1.6.3证明：
xL2[0,T]，若||x||=1，由Cauchy-Schwarz不等式，有
|[0,T]e（T）x（）d|2（[0,T]（e（T））2d）（[0,T]（x（））2d）
=[0,T]（e（T））2d=e2T[0,T]e2d=（1e2T）/2．
因此，该函数的函数值不超过M=（（1e2T）/2）1/2．
前面的不等号成为等号的充要条件是存在，使得x（）=e（T）．
再注意||x||=1，就有[0,T]（e（T））2d=1．解出=（（1e2T）/2）1/2．
故当单位球面上的点x（）=（（1e2T）/2）1/2·e（T）时，
该函数达到其在单位球面上的最大值（（1e2T）/2）1/2．
1.6.4证明：
若xN，则yN，（x,y）=0．而MN，故yM，也有（x,y）=0．
因此xM．所以，NM．
1.6.5
1.6.6解：
设偶函数集为E，奇函数集为O．
显然，每个奇函数都与正交E．故奇函数集OE．
fE，注意到f总可分解为f=g+h，其中g是奇函数，h是偶函数．
因此有0=（f,h）=（g+h,h）=（g,h）+（h,h）=（h,h）．
故h几乎处处为0．即f=g是奇函数．所以有EO．
这样就证明了偶函数集E的正交补E是奇函数集O．
1.6.7
证明：
首先直接验证，c，S={e2inx|n}是L2[c,c+1]中的一个正交集．
再将其标准化，得到一个规正交集S1={n（x）=dne2inx|n}．
其中的dn=||e2inx||（n），并且只与n有关，与c的选择无关．
（1）当b–a=1时，根据实分析结论有S={}．
当b–a<1时，若uL2[a,b]，且uS，
我们将u延拓成[a,a+1]上
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