等腰直角弯与全等三角形Word下载.docx

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2直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证:

△ACD≌△CBE.

解析：

在图1与图2中，∠ACD与∠BCE互余，∠ACD与∠DAC互余，由同角的余角相等得∠BCE＝∠DAC，又∠ADC＝∠CEB＝90°

，AC＝BC，由角角边判定△ADC≌△CEB.

证明：

（1）∵点D、C、E在同一直线上，且∠ACB＝90o

∴∠ACD＋∠BCE＝180°

－∠ACB＝180°

－90°

＝90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

在Rt△ADC中，∠ACD＋∠DAC＝90°

，且∠ACD＋∠BCE＝90°

∴∠DAC＝∠BCE，又∠ADC＝∠CEB，AC＝BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

（2）∵∠ACB＝90o，∴∠ACD＋∠BCE＝90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°

2.如图，△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°

，AC＝BC，DC＝EC.

求证：

△ACD≌△CEB.

由∠ACB＝∠DCE＝90°

知，∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝EC，由边角边公理即可判定△ACD≌△CEB.

∵∠ACB＝∠DCE＝90°

∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB

即：

∠ACD＝∠BCE，又AB＝BC，DC＝EC

∴△ACD≌△CEB（SAS）

在图1、图2和图3中的全等三角形就是等腰直角弯中的核心全等三角形。

【等腰直角弯的运用：

一、弯头双垂线

出现等腰直角弯的图形中，往往需要作弯头双垂线。

构造全等三角形解决问题。

例题1.如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝BC，点C的坐标为（－2,0），点A的坐标为（－6,3），则B点的坐标是___________.

因为∠ACB＝90°

，AC＝BC，符合等腰直角弯的条件，因此过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点D、E，如图5，则△ADC≌△CEB，由点C（－2,0），A（－6,3），知AD＝CE＝3，BE＝DC＝D0－C0＝6－2＝4，OE＝CE－CO＝3－2＝1，又点B在第一象限，所以点B的坐标为（1，4）.

答案：

（1，4）.

例题2.如图6，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为旋转中心逆时针旋转90º

至ED，连接AE，则△ADE的面积为___________.

解析：

因为∠EDC＝90°

，腰CD与ED旋转重合，DC＝DE，符合等腰直角弯的条件，因此过点C、E分别作直线AD的垂线段，如图7，则△DCF≌△EDG，∴EG＝DF＝AF－AD＝BC－AD＝3－2＝1，∴S△ADE＝ADEG＝×

2×

1＝1.

1.

例题3.如图8，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为_________________.

在正方形A1B1P1P2中，有等腰直角弯P1B1A1和B1A1P2，因此过P1作P1C⊥y轴于点C，过P2作P2D⊥x轴于点D，过P3作P3E⊥于x轴于点E，过P3作P3F⊥P2D于点F.如图9，则有△P1B1C≌△B1A1O≌△A1P2D，△P3P2F≌△P3A2E.因为P1在双曲线上，所以设点P1的坐标为（a,），即CP1＝a,OC＝,所以OB1＝P1C＝A1D＝a，OA1＝B1C＝P2D＝－a，故OD＝a＋－a＝，所以点P2的坐标为（，－a），将点P2的坐标代入反比例函数解析式，得：

（－a）×

＝2，化简得：

a2＝1，所以a1＝－1（舍），a2＝1，所以点P2的坐标为（2，1），设点P3的坐标为（b,），因为P3E＝P3F＝DE＝，OE＝OD＋DE＝2＋，所以2＋＝b，解得：

b1＝1－（舍），b2＝1＋，所以＝，所以点P3的坐标为（＋1，－1）.

答案：

（＋1，－1）.

二、共点双弯

有等腰直角弯的图形中，直角顶点没有直线或者用弯头双垂线不能求解时，可以考虑制造共点双弯，再借助全等三角形解决问题。

例4．如图10，点P在双曲线y＝上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是．

设⊙P与x和y轴分别相切于点A和点B，连结PA、PB.则PA⊥x轴，PB⊥y轴.与等腰直角弯EPF形成共点双弯，并设⊙P的半径为R.∴∠PAF＝∠PBE＝∠APB＝90°

，∵PF⊥PE∴∠FPA＝∠EPB＝90°

－∠APE，又∵PA＝PB，∴△PAF≌△PBE，∴AF＝BE，∴OF－OE＝（OA＋AF）－（BE－OB）＝2R.∵点P的坐标为（R，R），点P在双曲线y＝上，∴R＝解得：

R＝，∴OF－OE＝2R＝2.

2.

例5．将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B.

（1）如图12所示，当另一条直角边与边CD交于点Q时，线段PB与PQ之间有怎样的大小关系？

试说明你的理由；

（2）如图13所示，若另一条直角边与DC的延长线交于点Q时，上面的结论还成立吗？

为什么？

在

（1）问和

（2）问中，图形出现等腰直角弯中的直角∠BPQ＝90°

，要求证PB＝PQ，运用弯头双垂线不易证明核心三角形全等。

因此考虑画共点双弯，过点P作BC、DC的垂线，垂足分别为E、F，易得正方形PECF，由∠BPQ＝∠EPF＝90°

得，∠BPE＝∠FPQ，且∠PEB＝∠PFQ＝90°

，PE＝PF，△PEB≌△PFQ，因此PB＝PQ.

解：

（1）PE＝PF，理由如下：

如图14，

过点P分别作BC、DC的垂线，垂足为点E、F.

在正方形ABCD中

∠ACD＝∠ACB＝45°

，∠BCD＝∠PEC＝∠PFC＝90°

∴四边形PECF是矩形，

∴∠PCE＝∠CPE＝45°

，∴PE＝EC，

∴矩形PECF是正方形，

∴PE＝PF，∠EPF＝∠BPQ＝90°

∴∠EPF－∠EPQ＝∠BPQ－∠EPQ，

∠FPQ＝∠EPB

又∠PEB＝∠PFQ＝90°

，PE＝PF，

∴△PFQ≌△PEB，∴PB＝PQ

（2）PE＝PF，理由如下：

如图15，

理由同

（1）得∴△PFQ≌△PEB，∴PB＝PQ

三、综合运用

例6．（2016·

曲靖）如图16，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2ax＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC＝． 

（1）求抛物线的解析式；

（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；

（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？

若存在，请求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由． 

（图16）

解析:

本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的应用、一次函数的解析式以及正方形。

（1）根据点C（0，3）和tan∠OAC＝可得到点A坐标为（－4，0），再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，设出点N（n,0）的坐标，进一步表示出点H，点P的坐标，由此得出PH的长度关于n的二次函数，化为顶点式后，再利用二次函数的性质求最大值；

（3）由点E、M、C是正方形的三顶点，构成等腰直角弯，抛物线对称轴与y轴平行，因此过点M作MK⊥y轴，垂足为点K，交对称轴G，易证核心三角形△MCK≌△EMG，得到CK＝MG，再设出点M坐标（m,－），进一步表示出点G，K的坐标及CK，MG的长度，根据CK＝MG列出关于m的一元二次方程，求出m的值，得到点M的坐标。

（1）根据题意可知C（0，3），∴OC＝3，在Rt△OAC中，tan∠OAC＝，

∴OA＝4，所以A（－4,0）。

将A（－4,0）和C（0，3）代入抛物线解析式得：

，解得，

∴抛物线的解析式为：

y＝－.

（2）设直线AC的解析式为：

y＝kx＋b，将A（－4,0）和C（0,3）代入可得：

，解得，

∴直线AC的解析式为：

y＝x＋3.

设点N（n,0）（－4＜n＜0），∵点H在直线AC上，则点H（n,n＋3），

∵点P在抛物线上，则点P（n,），则线段PH表示为：

PH＝yP－yH＝－（n＋3）＝，

∵抛物线开口向下，所以有最大值，当n＝2时，y有最大值为，

∴线段PH的最大值为.

（3）如图17所示，过点M作MK⊥y轴，垂足为点K，交对称轴于点G.

∵四边形CMEF是正方形，EM＝MC，∠EMC＝90°

且∠MKC＝∠EGM＝90°

，∠MEG＋∠EMG＝90°

，

∴∠CMK＋∠EMG＝90°

，∴∠CMK＝∠MEG.

在△MCK和△EMG中，

∴△MCK≌△EMG（AAS），∴CK＝MG.

（图17）

设M（m,），

根据抛物线的对称轴为x＝－1，

则点G（－1，），K（0，），

则CK，MG的长度可表示为：

|CK|＝|yK－yC|＝|－3|＝||＝||,

MG＝|xM－xG|＝|m－（－1）|＝|m＋1|，由CK＝MG可得，|m＋1|＝||，

∴＝±

（m＋1），解得：

m1＝－4，m2＝－，m3＝，m4＝2，

分别代入抛物线解析式得：

y1＝0，y2＝，y3＝，y4＝0，

∴点M的坐标为（－4，0），（－，），（，）或（2，0）.

【对应练习：

1.如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）

A．50B．62C．65D．68

2.如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都相等，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，AB与l2交于点E，则△AED与正方形ABCD的面积之比为．

3.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（－3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B.设直线AB的解析式为y2＝k2x＋b，当y1＞y2时，x的取值范围是（）

A．－5＜x＜1B．0＜x＜1或x＜－5

C．－6＜x＜1D．0＜x＜1或x＜－6

4.如图1,OA＝2，OB＝4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC,

（1）求C点的坐标;

（2）如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰RtAPD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP－DE的值;