高三湘潭三模湖南省湘潭市届高三下学期第三次模拟考试 数学理Word文件下载.docx

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本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则的元素个数为（）

A．B．C．D．

2.已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.已知，则（）

4.数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（）

5.已知实数满足，则的最小值是（）

6.双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是（）

7.执行如图所示的程序框图，则输出的（）

8.若，则的值为（）

9.已知等比数列的前项积为，若，则当取得最大值时，的值为（）

10.某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）

11.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则当取得最小值时，函数的一个单调递增区间为（）

12.已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设非零向量满足，且，则向量与的夹角为．

14.已知在内任取一个实数，在内任取一个实数，则点位于上方的概率为．

15.已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线有一点，过点作，垂足为，若等边的面积为，则．

16.已知三棱锥满足底面是边长为的等边三角形，是线段上一点，且，球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值于最大值之和为，则球的表面积．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知中，.

（1）若，求的面积；

（2）若，求的长.

18.生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：

（1）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；

（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.

19.已知直三棱柱中，,点在线段上.

（1）证明：

；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，过点做两条相互垂直的直线分别与椭圆交于四点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，探究：

直线是否过定点？

若是，请求出定点坐标；

若不是，请说明理由.

21.已知关于的方程有两个不同的实数根.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.

（1）求出曲线的参数方程；

（2）若分别是曲线上的动点，求的最大值.

23.已知函数.

（1）解不等式：

（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.