《固体物理学答案》第一章晶体的结构.docx
《《固体物理学答案》第一章晶体的结构.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《固体物理学答案》第一章晶体的结构.docx（40页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构
习题
1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：
（1）简立方，;
（2）体心立方,
（3）面心立方，（4）六角密积，
（5）金刚石结构，
[解答]
设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，
设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度=
（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为
面1.2简立方晶胞
晶胞内包含1个原子，所以
=
（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为晶胞内包含2个原子，所以
=
图1.3体心立方晶胞
（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为，1个晶胞内包含4个原子，所以
=.
图1.4面心立方晶胞
（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
图1.5六角晶胞图1.6正四面体
晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高
h=
晶胞体积V=,
一个晶胞内包含两个原子，所以
ρ=.
（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为
晶胞体积,
图1.7金刚石结构
一个晶胞内包含8个原子，所以
ρ=.
2．在立方晶胞中，画出（102），（021），
（1），和
（2）晶面。
[解答]
图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。
3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为在C轴上的截距为
证明：
求出O和A四个面的面指数。
图1.9六角晶胞对称画法
[解答]
设d是晶面族（）的面间距，n是晶面族的单位法矢量，晶面族（）中最靠近原点的晶面在轴上的截距分别为所以有
·=,
·=,
·=.
因为
所以
··。
由上式得到
=.
即
由图可得到：
晶面的面指数为（111）
面的面指数为（110）
晶面的面指数为（100）
晶面的面指数为（0001）
4．设某一晶面族的面间距为d,三个基矢的末端分别落在离原点的距离为,的晶面上，试用反证法证明：
是互质的。
[解答]
设该晶面族的单位法量为由已知条件可得
···
假定不是互质数，且公约数即
是互质的整数，则有
···
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为
由于心定是整数，而且
····
于是得到
由上式可得
上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。
矛盾的产生是p为不等于1的整数的假定。
也就是说，p只能等于1，即一定是互质数。
5．证明在立方晶体中，晶列[]与晶面（）正交，并求晶面（）与晶面（）的夹角。
[解答]
设d是为晶面族（）的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（）将a,b,c分别截为等份，即
a•n=acos（a,n）=hd,
b•n=bcos（b,n）=kd,
c•n=ccos（c,n）=ld
于是有
n=i+j+k
=（hi+kj+lk）
其中,i,j,k分别为平行于a,b,c三个坐标轴的单位矢量，而晶列[]的方向矢量为
R=hai+kaj+lak=a（hi+kj+lk）
由
（1），
（2）两式得
n=R
即n与R平行，因此晶列[]与晶面（）正交。
对于立方晶系，晶面（）与晶面（）的夹角，就是晶列
R=a+b+c
与晶列
R=a+b+c
的夹角，设晶面（）与晶面（）的夹角为由
R∙R=
=
得
6．如图1.10所示，B,C两点是面心立方晶胞上的两面心。
（1）求ABC面的密勒指数；
（2）求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
图1.10面心立方晶胞
[解答]
（1）矢量与矢量的叉乘即是ABC面的法矢量
=
因为对立方晶系，晶列[]与晶面族（）正交，所以ABC面的密勒指数为（31）.
（2）
可见与晶列（a+b-2c）平行，因此AC晶列的晶列指数为[11].
由《固体物理教程》（1•3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
晶列（a+b-2c）可化为（a+b-2c）=-2（）
由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[11]
7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
[解答]
设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为
由倒格矢公式
可得其倒格矢为
设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k,体心立方正格子的原胞基矢可取为
以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式
则得其倒格子基矢为
可见体心立方的倒格子是面心立方。
8．六角晶胞的基矢
求其倒格基矢。
[解答]
晶胞体积为
其倒格矢为
9．证明以下结构晶面族的面间距：
（1）立方晶系:
（2）正交晶系:
（3）六角晶系:
（4）简单单斜:
.
[解答]
（1）设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k,则正格子基矢为
图1.11立方晶胞
倒格子晶矢为
与晶面族（hkl）正交的倒格为
由晶面间距与倒格矢的关系式
得，
（2）对于正交晶系，晶胞基矢相互垂直，但晶格常数设沿晶轴的单位矢量分别为i,j,k则正格子基矢为
图1.12正交晶胞倒
倒格子基矢为
与晶面族（hkl）正交的倒格为
由晶面间距与倒格矢的关系式
得
（2）对于六角晶系，晶面族（hkl）的面间距
图1.13六角晶胞
也即
由图1.13可得六角晶胞的体积
倒格基矢的模
倒格基矢的点积
其中利用了矢量混合的循环关系
及关系式
因为矢量平行于c所以
将以上诸式代入
（1）式得
即
=
（4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足和,晶胞体积
由
a
b
c
得其倒格子基矢长度
a
及
b
c
倒格基矢间的点积
=
=
因为矢量平行于b所以
将以上诸式代入
得到
=
即
10．求晶格常数为的面心立方和体立方晶体晶面族的面间距
[解答]
面心立方正格子的原胞基矢为
a
由
可得其倒格基矢为
倒格矢
根据《固体物理教程》（1。
16）式
得面心立方晶体面族的面间距
=
体心立方正格子原胞基矢可取为
其倒格子基矢为
则晶面族的面间距为
11．试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。
[解答]
由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族的面间距
可以看出，面间距最大的晶面族就是，将该晶面指数代入《固体物理教程》（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为面间距最大的晶面上的格点最密，所以密勒指数晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最密的面上，由图1.14虚线标出的（110）晶面容易算出，最密的线上格点的周期为
图1.14体心立方晶胞
由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族的面间距
可以看出，面间距最大的晶面族是。
由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数与晶面指数（hkl）的转换关系为
将晶面指数代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为.面间距最大晶面上的格点最密，所以密勒指数晶面族是格点最密的面,格点最密的线一定分布在格点最密的面上,由图1.15虚线标出的（111）晶面上的格点容易算出,最密的线上格点的周期为
图1.15面心立方晶胞
12．证明晶面及属于同一晶带的条件
[解答]
设原胞坐标系中的倒格子基矢为则晶面，及的倒格矢分别为
当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢
即位于同一平面上,于是有
利用正倒格子的关系
得
式中为倒格原胞体积,于是得到
代入
（1）式,得
0
13.晶面的交线与晶列
平行,证明
[解答]
与晶面垂直的倒格矢分别为
晶面的交线应同时与和垂直,即与平行,而
式中为倒格原胞体积,为正格原胞基矢
已知晶面的交线与晶列平行,即和平行,因此可取为
.
14．今有正格矢
其中;及均为整数,试证可选作基矢的充分条件是
[解答]
解法一:
固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个无同的特点,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。
因此可选作基矢的充分条件是，由基矢构成的原胞体积一定等于由基矢构成的原胞体积，即
将
代入得
将上式代入
（1）得
解法二：
设，当为基矢时，应取整数值，将
代入得
由此得方程组
解方程得
由于的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，为整数，因此可选作基矢的充分条件是
15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为，求对应的原胞坐标中的面指数若已知求对应的密勒指数。
[解答]
由《固体物理教程》（1。
3）式和（1。
4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢与晶胞坐标系中的倒格基矢的关系为
也即
与晶面族垂直的倒格矢
与晶面族正交，因此，若已知晶面族的密勒指数（hkl）则原胞坐标系中的面指数
其中p是的公约数
同样
与晶面族（hkl）正交，因此，若已知晶面族的面指数则晶胞坐标系中的面指数
（hkl）
其中是的公约数。
16．证明不存在5度旋转对称轴。
[解答]
如下面所示，A,B是同一晶列上O格点的两个最近邻格点，
如果绕通过O点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转角，则A格点转到点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过O点的转轴逆时针旋转角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转角，B格点转到处，说明处原来必定有一格点，可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由图１．１６可知， 晶列与 AB 晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 则有
图1.16 晶格的旋转对称性
其中m为整数，由余弦的取值范围可得
于是可得
因为逆时针旋转，分别等于顺时针旋转，，
所以晶格对称转动所允许的独立转角为
上面的转角可统一写成
称n为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有５度旋转对称轴．
17．利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩
升级会员 