河南理工大学线性代数历年考试.doc

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河南理工大学2007-2008

线性代数试题

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内）

（本大题分3小题,每小题2分,共6分）

1、设向量组,,线性相关，则必有（）

或,或,

或,或.

2、设维向量组线性无关，则（）

组中增加一个任意向量后也线性无关，

组中去掉一个向量后仍线性无关，

存在不全为的数，使，

组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

3、已知向量组的秩为r（r

必有r个向量线性无关.

任意r个向量线性无关.

任意r个向量都是该向量组的最大无关组.

任一向量都可由其余向量线性表出.

二、填空（将正确答案填在题中横线上）

（本大题分4小题,每小题2分,共8分）

1、在阶行列式中，关于主对角线与元素对称的元素是________.

2、设E表示由n阶单位矩阵第i行与第j行互换得到的初等矩阵，则E__________.

（工）3、二次型的矩阵表达式为=

______________________________________________.

（文）3、设,则等于___________________.

4、设向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的最大线性无关组是.

三、（10分）计算行列式的值.

四、（8分）解下列矩阵方程

设，其中，求.

五、（9分）设,用初等变换法求

六、（9分）设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.

七、（8分）设，求矩阵的秩.

八、（10分）求方程组的基础解系,并写出其通解.

九、解答下列各题（12分）设，求.

十、（10分）试判断实对称矩阵是否为正定矩阵？

（文）十、（10分）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.

十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）

1、若是阶对称的可逆矩阵,证明也是对称矩阵.

2、设齐次方程组的系数矩阵行列式是中的元素的代数余子式，试证明:

是方程组的一个解.

成绩

河南理工大学2007-2008

线性代数试题答案

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内）

（本大题分3小题,每小题2分,共6分）

1、D2、B3、A

二、填空（将正确答案填在题中横线上）（本大题分4小题,每小题2分,共8分）

1、

2、

（工）3、

（文）3、

4、

三、（10分）计算行列式的值.

解

四、（8分）解下列矩阵方程

设，其中，求.

解

，

=

五、（9分）设,用初等变换法求

六、（9分）设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.

解

七、（8分）设，求矩阵的秩.

解

八、（10分）求方程组的基础解系,并写出其通解.

解

基础解系为,

通解为

九、解答下列各题（12分）设，求.

解的特征值,对应于的特征向量分别为

令，则可逆,且

故

十、（10分）试判断实对称矩阵是否为正定矩阵？

解为正定矩阵.

（文）十、（10分）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.

解

的列向量组的一个极大无关组为:

并且有

十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）

1、若是阶对称的可逆矩阵,证明也是对称矩阵.

证明

可逆,也是对称矩阵.

2、设齐次方程组的系数矩阵行列式是中的元素的代数余子式，试证明:

是方程组的一个解.

证明因为

而,所以将代入方程组的每个方程都适合.

故是方程组的一个解.

河南理工大学2008-2009

线性代数

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内）

（本大题分3小题,每小题2分,共6分）

1、设向量组线性无关，则（）

线性无关；

线性无关；

线性无关；

线性无关.

2、已知向量组的秩为r（r

必有r个向量线性无关.

任意r个向量线性无关.

任意r个向量都是该向量组的最大无关组.

任一向量都可由其余向量线性表出.

3、若方程组对于任意维列向量都有解，则（）

二、填空（将正确答案填在题中横线上）

（本大题分4小题,每小题2分,共8分）

1、在阶行列式中，关于主对角线与元素对称的元素是________.

2、_____________________.

3、二次型的矩阵表达式为=

_____________________________________________.

4、设向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的最大线性无关组是.

（文）4、设,则等于___________________.

三、（10分）计算行列式的值.

四、（8分）解下列矩阵方程

设，其中，求.

五、（9分）设,用初等变换法求

六、（9分）设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.

七、（8分）设，求矩阵的秩.

八、（10分）求方程组的基础解系，并写出其通解.

九、解答下列各题（12分）设相似,求的值.

十、（10分）试判断实对称矩阵是否为正定矩阵？

（文）十、（10分）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.

十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）

1、若是阶对称的可逆矩阵，证明也是对称矩阵.

2、由行列式定义证明.

河南理工大学2008-2009

线性代数答案

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内）

（本大题分3小题,每小题2分,共6分）

1、C2、A3、B

二、填空（将正确答案填在题中横线上）（本大题分4小题,每小题2分,共8分）

1、

2、

3、

4、

（文）4、

三、（10分）计算行列式的值.

解

四、（8分）解下列矩阵方程

设，其中，求.

解

，

=

五、（9分）设,用初等变换法求

解

六、（9分）设，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.

解

七、（8分）设，求矩阵的秩.

解

八、（10分）求方程组的基础解系，并写出其通解.

解

取基础解系为=,通解为

九、解答下列各题（12分）设相似,求的值.

解由得

由得,

其中

故

十、（10分）试判断实对称矩阵是否为正定矩阵？

解为正定矩阵.

（文）十、（10分）矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.

解

的列向量组的一个极大无关组为:

并且有

十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）

1、若是阶对称的可逆矩阵，证明也是对称矩阵.

证明

可逆,也是对称矩阵.

2、由行列式定义证明.

证明

行列式的一般项可表示为

而列数只能在1,2,3,4,5中取不同的值,故三个下标中至少有一个要取3,4,5中之一数,于是任一项至少要包含一个零为因子,故行列式等于零.

河南理工大学2009-2010学年第二学期

《线性代数》试卷

一、填空题（每小题4分，共40分）

1、四阶行列式中因子的符号为。

2、设方阵A满足，，则=。

3、设矩阵，，则。

4、设，_____________.

5、已知,其中A的特征值为1，2，3，则对角阵的。

6．设二次型的正定性为______。

7、向量组线性相关性为。

8、已知线性方程组有唯一解，则的值为。

9、n元非齐次线性方程组，有解的充要条件是。

10、已知方阵A可逆，且，则。

得分

二、计算、证明题（共60分）

1、（8分）设，且满足：

A+B=BA，求A.

2、（8分）已知为正交矩阵，证明

（1）也为正交矩阵；

（2）若，则。

3、（8分）计算行列式D=.

4、（10分）解线性方程组。